8．(★函数f(x)＝的最大值为m，最小值为m，则m＋m
解析 (构造法)根据分子和分母同次的特点，把分子展开，得到部分分式，f(x)＝1＋，f(x)－1为奇函数，则m－1＝－(m－1)，所以m＋m＝2.
答案 29．(11分)设f(x)＝.
1)求f(x)的定义域；
2)求f(x)的值域及取最大值时x的值．
解 (1)由1－2sin x≥0，根据正弦函数图象知：
定义域为．2)∵－1≤sin x≤1，∴－1≤1－2sin x≤3，∵1－2sin x≥0，0≤1－2sin x≤3，∴f(x)的值域为[0，]，当x＝2kπ＋，k∈z时，f(x)取得最大值．
3．(2011·绍兴模拟)关于函数f(x)＝4sin (x∈r)，有下列命题：
由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2必是π的整数倍；
y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos；
y＝f(x)的图象关于点对称；
y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称．
其中正确命题的序号是___把你认为正确的命题序号都填上)．
解析函数f(x)＝4sin的最小正周期t＝π，由相邻两个零点的横坐标间的距离是＝知①错．
利用诱导公式得f(x)＝4cos＝
4cos＝4cos，知②正确．
由于曲线f(x)与x轴的每个交点都是它的对称中心，将x＝－代入得f(x)＝4sin＝4sin 0＝0，因此点是f(x)图象的一个对称中心，故命题③正确．曲线f(x)的对称轴必经过图象的最高点或最低点，且与y轴平行，而x＝－时y＝0，点不是最高点也不是最低点，故直线x＝－不是图象的对称轴，因此命题④不正确．
答案 ②③4．(2011·东北三校联考(二))已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是( )
a．－4b．4c．－2d．2
解析设a与b的夹角为θ，∵a·b为向量b的模与向量a在向量b方向上的投影的乘积，而cos θ＝a|cos θ＝6×＝－4.
2．设等差数列的前n项和为sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当sn取最小值时，n等于( )
a．6b．7c．8d．9
解析由a4＋a6＝a1＋a9＝－11＋a9＝－6，得a9＝5，从而d＝2，所以sn＝－11n＋n(n－1)＝n2－12n＝(n－6)2－36，因此当sn取得最小值时，n＝6.
答案 a4．(2011·深圳模拟)已知sn为等差数列的前n项和，若s1＝1，＝4，则的值为( )
abcd．4
解析由等差数列的性质可知s2，s4－s2，s6－s4成等差数列，由＝4得＝3，则s6－s4＝5s2，所以s4＝4s2，s6＝9s2，＝.
答案 a8．(★在等差数列中，a1＝－3,11a5＝5a8－13，则数列的前n项和sn的最小值为___
解析 (直接法)设公差为d，则11(－3＋4d)＝5(－3＋7d)－13，所以d＝，所以数列为递增数列．
令an≤0，所以－3＋(n－1)·≤0，所以n≤，又n∈n*，前6项均为负值，所以sn的最小值为－.
答案 －9．(★11分)设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列的前n项和为sn，满足s5s6＋15＝0.
1)若s5＝5，求s6及a1；
2)求d的取值范围．
思路分析第(1)问建立首项a1与公差d的方程组求解；第(2)问建立首项a1与公差d的方程，利用完全平方公式求范围．
解 (1)由题意知s6＝＝－3，a6＝s6－s5＝－8，所以。
解得a1＝7，所以s6＝－3，a1＝7.
2)因为s5s6＋15＝0，所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a＋9da1＋10d2＋1＝0，故(4a1＋9d)2＝d2－8，所以d2≥8.
故d的取值范围为d≤－2或d≥2.
2．数列是等差数列，若＜－1，且它的前n项和sn有最大值，那么当sn取得最小正值时，n＝(
a．11b．17c．19d．21
解析由题意，可知数列的前n项和sn有最大值，所以公差小于零，故a11＜a10，又因为＜－1，所以a10＞0，a11＜－a10，由等差数列的性质有a11＋a10＝a1＋a20＜0，a10＋a10＝a1＋a19＞0，所以sn取得最小正值时n＝19.
答案 c3．(2011·苏锡常镇调研(二))两个等差数列的前n项和之比为，则它们的第7项之比为___
解析设两个数列，的前n项和为sn，tn，则＝，而＝＝＝
答案 3∶1
1．(2011·安徽改编)已知△abc的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△abc的面积为( )
a．12b．15c．12d．15
解析不妨设角a＝120°，c＜b，则a＝b＋4，c＝b－4，于是cos 120°＝＝解得b＝10，所以s＝bcsin 120°＝15.
答案 b5．(★10分)在数列中，an＋1＋an＝2n－44(n∈n*)，a1＝－23.
1)求an；
2)设sn为的前n项和，求sn的最小值．
思路分析由已知条件可推知n应分奇数和偶数．
解 (1)由an＋1＋an＝2n－44(n∈n*)，an＋2＋an＋1＝2(n＋1)－44.
an＋2－an＝2，又a2＋a1＝2－44，∴a2＝－19.
同理得：a3＝－21，a4＝－17.故a1，a3，a5，…是以a1为首项、2为公差的等差数列，a2，a4，a6，…是以a2为首项、2为公差的等差数列．
从而an＝2)当n为偶数时，sn＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…an－1＋an)
(2×1－44)＋(2×3－44)＋…2×(n－1)－44]
2[1＋3＋…＋n－1)]－44＝－22n，故当n＝22时，sn取得最小值－242.
当n为奇数时，sn＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…an－1＋an)＝a1＋(2×2－44)＋…2×(n－1)－44]
a1＋2[2＋4＋…＋n－1)]＋44)
－23＋－22(n－1)
－22n－.
故当n＝21或n＝23时，sn取得最小值－243.
综上所述：当n为偶数时，sn取得最小值为－242；当n为奇数时，sn取最小值为－243.
8．(2011·广州一模)已知等比数列的前n项和为sn，若s2＝6，s4＝30，则s6
解析 ∵是等比数列，∴s2，s4－s2，s6－s4成等比数列，即6,24，s6－30成等比数列，∴242＝6×(s6－30)，s6＝126.
答案 126
5．(10分)已知数列的前n项和为sn，数列中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋sn＝n.
1)设cn＝an－1，求证：是等比数列；
2)求数列的通项公式．
1)证明 ∵an＋sn＝n，①
an＋1＋sn＋1＝n＋1.②
－①得an＋1－an＋an＋1＝1，2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，＝，是等比数列．
首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1.
a1＝，∴c1＝－，公比q＝.
又cn＝an－1，是以－为首项，公比为的等比数列．
2)解由(1)可知cn＝·n－1＝－n，an＝cn＋1＝1－n.
当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－n－
n－1－n＝n.
又b1＝a1＝代入上式也符合，∴bn＝n.
5．(10分)(2012·湖州模拟)设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且a1＝b1＝1，a3＋b5＝21，a5＋b3＝13.
1)求，的通项公式；
2)求数列的前n项和sn.
解 (1)设的公差为d，的公比为q，则依题意有q＞0且解得。
所以an＝1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝qn－1＝2n－1.
2)＝，sn＝1＋＋＋
2sn＝2＋3＋＋…
－①，得sn＝2＋2＋＋＋
6．(12分)等差数列的各项均为正数，a1＝3，前n项和为sn，为等比数列，b1＝1，且b2s2＝64，b3s3＝960.
1)求an与bn；
2)求＋＋…
解 (1)设的公差为d，的公比为q，则d为正数，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1.
依题意有。解得或(舍去)
故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.
2)sn＝3＋5＋…＋2n＋1)＝n(n＋2)，所以。
9．(11分)已知f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，设f(a1)，f(a2)，…f(an)(n∈n＋)是首项为4，公差为2的等差数列．
1)设a为常数，求证：是等比数列；
2)若bn＝anf(an)，的前n项和是sn，当a＝时，求sn.
1)证明 f(an)＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，logaan＝2n＋2，∴an＝a2n＋2.
＝＝＝a2(n≥2)为定值．
是以a4为首项，a2为公比的等比数列．
2)解 bn＝anf(an)＝a2n＋2logaa2n＋2＝(2n＋2)a2n＋2.
当a＝时，bn＝(2n＋2)()2n＋2＝(n＋1)2n＋2.
sn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n＋1)·2n＋2
2sn＝2·24＋3·25＋4·26＋…＋n·2n＋2＋(n＋1)·2n＋3， ②
－②得。sn＝2·23＋24＋25＋…＋2n＋2－(n＋1)·2n＋3
16＋－(n＋1)·2n＋3
16＋2n＋3－24－n·2n＋3－2n＋3＝－n·2n＋3.
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