【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。
例1.设，，若，求实数a组成的集合的子集有多少个？
易错点分析】此题由条件易知，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a值产生漏解现象。
解析：集合a化简得，由知故（ⅰ）当时，即方程无解，此时a=0符合已知条件（ⅱ）当时，即方程的解为3或5，代入得或。综上满足条件的a组成的集合为，故其子集共有个。
知识点归类点拔】（1）在应用条件a∪b＝ｂa∩b＝ａａ时，要树立起分类讨论的数学思想，将集合ａ是空集φ的情况优先进行讨论．
2）在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合元素的限制。有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质。
练】已知集合、，若，则实数a的取值范围。
是答案：或。
易错点2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。
例2.已知，求的取值范围。
易错点分析】此题利用消元的思路将问题转化为关于x的函数最值求解，但忽略x、y满足这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。
解析：由于得(x+2)2=1-≤1，∴-3≤x≤-1从而x2+y2=-3x2-16x-12=
因此当x=-1时x2+y2有最小值1, 当x=-时，x2+y2有最大值。故x2+y2的取值范围是[1,]
知识点归类点拔】从解析几何的角度来理解条件对x、y的限制，显然方程表示以（-2，0）为中心的椭圆，则易知-3≤x≤-1，。此外本题还可通过三角换元转化为三角最值求解。,
例3.判断函数的奇偶性。
易错点分析】此题常犯的错误是不考虑定义域，而按如下步骤求解：从而得出函数为非奇非偶函数的错误结论。
解析：由函数的解析式知x满足即函数的定义域为定义域关于原点对称，在定义域下易证即函数为奇函数。
知识点归类点拔】（1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件，因此在判断函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域。
2）函数具有奇偶性，则是对定义域内x的恒等式。常常利用这一点求解函数中字母参数的值。
练1】判断下列函数的奇偶性：
答案：①既是奇函数又是偶函数②非奇非偶函数③非奇非偶函数。
练2】（高考题）已知，判断奇偶性单调性。
答案：是奇函数且为增函数。
练3】试判断函数的单调性并给出证明。
易错点分析】在解答题中证明或判断函数的单调性必须依据函数的性质解答。特别注意定义中的的任意性。以及函数的单调区间必是函数定义域的子集，要树立定义域优先的意识。
解析：由于即函数为奇函数，因此只需判断函数在上的单调性即可。设， 由于故当时，此时函数在上增函数，同理可证函数在上为减函数。又由于函数为奇函数，故函数在为减函数，在为增函数。
知识归类点拔】（1）函数的单调性广泛应用于比较大小、解不等式、求参数的范围、最值等问题中，应引起足够重视。
2）单调性的定义等价于如下形式：在上是增函数，在上是减函数，这表明增减性的几何意义：增（减）函数的图象上任意两点连线的斜率都大于（小于）零。
3）是一种重要的函数模型，要引起重视并注意应用。但注意本题中不能说在上为增函数，在上为减函数，在叙述函数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”，练4】（1）用单调性的定义判断函数在上的单调性。（2）设在的最小值为，求的解析式。
答案：（1）函数在为增函数在为减函数。（2）
练5】设且为r上的偶函数。（1）求a的值（2）试判断函数在上的单调性并给出证明。
答案：（1）（2）函数在上为增函数（证明略）
易错点4】在涉及指对型函数的单调性有关问题时，没有根据性质进行分类讨论的意识和易忽略对数函数的真数的限制条件。
例4.是否存在实数a使函数在上是增函数？若存在求出a的值， 若不存在，说明理由。
易错点分析】本题主要考查对数函数的单调性及复合函数的单调性判断方法，在解题过程中易忽略对数函数的真数大于零这个限制条件而导致a的范围扩大。
解析：函数是由和复合而成的，根据复合函数的单调性的判断方法。
1）当a＞1时，若使在上是增函数，则在上是增函数且大于零。故有解得a>1。
2）当0＜a＜1时若使在上是增函数，则在上是减函数且大于零。不等式组无解。
综上所述存在实数a>1使得函数在上是增函数。
知识归类点拔】要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的范围（大于1还是小于1），特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想（对数型函数还要注意定义域的限制）。
练】设，且试求函数的的单调区间。
答案：当，函数在上单调递减在上单调递增。
当函数在上单调递增在上单调递减。
易错点5】含参分式不等式的解法。易对分类讨论的标准把握不准，分类讨论达不到不重不漏的目的。
例5.解关于x的不等式＞1(a≠1).
易错点分析】将不等式化为关于x的一元二次不等式后，忽视对二次项系数的正负的讨论，导致错解。
解：原不等式可化为：＞0，即［(a－1)x+(2－a)］(x－2)＞0.
当a＞1时，原不等式与(x－)(x－2)＞0同解。若≥2，即0≤a＜1时，原不等式无解；若＜2，即a＜0或a＞1，于是a＞1时原不等式的解为(－∞2，+∞
当a＜1时，若a＜0，解集为(，2)；若0＜a＜1，解集为(2，)
综上所述：当a＞1时解集为(－∞2，+∞当0＜a＜1时，解集为(2，)；当a=0时，解集为；当a＜0时，解集为(，2).
知识点分类点拔】解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题：
1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法。
2)掌握用序轴标根法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法。
3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法。
4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法。
5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式。(6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论。
练】 已知函数为常数）,且方程有两个实根为。
1）求函数的解析式；（2）设，解关于的不等式：
答案：①当时，解集为②当时，不等式为解集为③当时，解集为。
易错点6】求函数的定义域与求函数值域错位。
例6.已知函数（1）如果函数的定义域为r求实数m的取值范围。（2）如果函数的值域为r求实数m的取值范围。
易错点分析】此题学生易忽视对是否为零的讨论，而导致思维不全面而漏解。另一方面对两个问题中定义域为r和值域为r的含义理解不透彻导致错解。
解析：（1）据题意知若函数的定义域为r即对任意的x值恒成立，令，当=0时，即或。经验证当时适合，当时，据二次函数知识若对任意x值函数值大于零恒成立，只需解之得或综上所知m的取值范围为或。
2）如果函数的值域为r即对数的真数能取到任意的正数，令当=0时，即或。经验证当时适合，当时，据二次函数知识知要使的函数值取得所有正值只需解之得综上可知满足题意的m的取值范围是。
知识点归类点拔】对于二次型函数或二次型不等式若二次项系数含有字母，要注意对字母是否为零进行讨论即函数是一次函数还是二次函数不等式是一次不等式还是二次不等式。。再者本题中函数的定义域和值域为r是两个不同的概念，前者是对任意的自变量x的值函数值恒正，后者是函数值必须取遍所有的正值二者有本质上的区别。
练】已知函数的定义域为r，求a的取值范围。
答案：或。易错点7】函数与方程及不等式的联系与转化。学生不能明确和利用三者的关系在解题中相互转化寻找解题思路。
例7.已知二次函数满足，且对一切实数恒成立。
求； 求的解析式；求证：
易错点分析】对条件中的不等关系向等式关系的转化不知如何下手，没有将二次不等式与二次函数相互转化的意识，解题找不到思路。
解：（1）由已知令得：
2）令由得： 即则对任意实数恒成立就是对任意实数恒成立，即：
则。3）由（2）知故。
故原不等式成立．
知识点归类点拔】函数与方程的思想方法是高中数学的重要数学思想方法函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。
对于不等式恒成立，引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题，其中也联系到了方程无解，体现了方程思想和函数思想。一般地，我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系，将问题进行相互转化。
易错点8】利用函数的的单调性构造不等关系。要明确函数的单调性或单调区间及定义域限制。
例8．记，若不等式的解集为，试解关于t的不等式。
易错点分析】此题虽然不能求出a,b,c的具体值，但由不等式的解集与函数及方程的联系易知1,3是方程的两根，但易忽视二次函数开口方向，从而错误认为函数在上是增函数。
解析：由题意知，且故二次函数在区间上是增函数。又因为，故由二次函数的单调性知不等式等价于即故即不等式的解为：。
知识点分类点拔】函数的单调性实质是就体现了不等关系，故函数与不等式的结合历来都是高考的热点内容，也是我们解答不等式问题的重要工具，在解题过程中要加意应用意识，如指数不等式、对数不等式、涉及抽象函数类型的不等式等等都与函数的单调性密切相关。
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