例1 如图，矩形abcd中，e是ad的中点，将△abe沿be折叠后得到△gbe，延长bg交cd于f点，若cf=1，fd=2，则bc的长为（ ）
a． 3 b． 2 c． 2 d． 2
考点： 翻折变换（折叠问题）。810360
分析： 首先过点e作em⊥bc于m，交bf于n，易证得△eng≌△bnm（aas），mn是△bcf的中位线，根据全等三角形的性质，即可求得gn=mn，由折叠的性质，可得bg=3，继而求得bf的值，又由勾股定理，即可求得bc的长．
解答： 解：过点e作em⊥bc于m，交bf于n，四边形abcd是矩形，∠a=∠abc=90°，ad=bc，∠emb=90°，四边形abme是矩形，ae=bm，由折叠的性质得：
ae=ge，∠egn=∠a=90°，eg=bm，∠eng=∠bnm，△eng≌△bnm（aas），ng=nm，cm=de，e是ad的中点，ae=ed=bm=cm，em∥cd，bn：nf=bm：cm，bn=nf，nm=cf=，ng=，bg=ab=cd=cf+df=3，bn=bg﹣ng=3﹣=，bf=2bn=5，bc===2．
故选b．点评： 此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
例2 （2018天津）已知一个矩形纸片oacb，将该纸片放置在平面直角坐标洗中，点a（11，0），点b（0，6），点p为bc边上的动点（点p不与点b、c重合），经过点o、p折叠该纸片，得点b′和折痕op．设bp=t．
ⅰ）如图①，当∠bop=30°时，求点p的坐标；
ⅱ）如图②，经过点p再次折叠纸片，使点c落在直线pb′上，得点c′和折痕pq，若aq=m，试用含有t的式子表示m；
ⅲ）在（ⅱ）的条件下，当点c′恰好落在边oa上时，求点p的坐标（直接写出结果即可）．
考点：翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
专题：几何综合题．
分析：（ⅰ根据题意得，∠obp=90°，ob=6，在rt△obp中，由∠bop=30°，bp=t，得op=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案；
ⅱ）由△ob′p、△qc′p分别是由△obp、△qcp折叠得到的，可知△ob′p≌△obp，△qc′p≌△qcp，易证得△obp∽△pcq，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；
ⅲ）首先过点p作pe⊥oa于e，易证得△pc′e∽△c′qa，由勾股定理可求得c′q的长，然后利用相似三角形的对应边成比例与m= t2- t+6，即可求得t的值．
解答：解：（ⅰ根据题意，∠obp=90°，ob=6，在rt△obp中，由∠bop=30°，bp=t，得op=2t．
op2=ob2+bp2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=2，t2=-2（舍去）．
点p的坐标为（2，6）．
ⅱ）∵ob′p、△qc′p分别是由△obp、△qcp折叠得到的，△ob′p≌△obp，△qc′p≌△qcp，∠opb′=∠opb，∠qpc′=∠qpc，∠opb′+∠opb+∠qpc′+∠qpc=180°，∠opb+∠qpc=90°，∠bop+∠opb=90°，∠bop=∠cpq．
又∵∠obp=∠c=90°，△obp∽△pcq，由题意设bp=t，aq=m，bc=11，ac=6，则pc=11-t，cq=6-m．
m= t2- t+6（0＜t＜11）．
ⅲ）过点p作pe⊥oa于e，∠pea=∠qac′=90°，∠pc′e+∠epc′=90°，∠pc′e+∠qc′a=90°，∠epc′=∠qc′a，△pc′e∽△c′qa，pc′=pc=11-t，pe=ob=6，aq=m，c′q=cq=6-m，ac′=，m= t2- t+6，解得：t1=，t2=，点p的坐标为（，6）或（，6）．
点评：此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识．此题难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想与方程思想的应用．
例3 如图，在△abc中，∠c=90°，将△abc沿直线mn翻折后，顶点c恰好落在ab边上的点d处，已知mn∥ab，mc=6，nc=，则四边形mabn的面积是（ ）
a． b． c． d．
考点： 翻折变换（折叠问题）。810360
分析： 首先连接cd，交mn于e，由将△abc沿直线mn翻折后，顶点c恰好落在ab边上的点d处，即可得mn⊥cd，且ce=de，又由mn∥ab，易得△cmn∽△cab，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形对应高的比等于相似比，即可得，又由mc=6，nc=，即可求得四边形mabn的面积．
解答： 解：连接cd，交mn于e，将△abc沿直线mn翻折后，顶点c恰好落在ab边上的点d处，mn⊥cd，且ce=de，cd=2ce，mn∥ab，cd⊥ab，△cmn∽△cab，在△cmn中，∠c=90°，mc=6，nc=，s△cmn=cmcn=×6×2=6，s△cab=4s△cmn=4×6=24，s四边形mabn=s△cab﹣s△cmn=24﹣6=18．
故选c．点评： 此题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，解此题的关键是注意折叠中的对应关系，注意数形结合思想的应用．
例4 如图，将矩形abcd沿直线ef折叠，使点c与点a重合，折痕交ad于点e，交bc于点f，连接af、ce，1）求证：四边形afce为菱形；
2）设ae=a，ed=b，dc=c．请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式．
考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．
分析：（1）由矩形abcd与折叠的性质，易证得△cef是等腰三角形，即ce=cf，即可证得af=cf=ce=ae，即可得四边形afce为菱形；
2）由折叠的性质，可得ce=ae=a，在rt△dce中，利用勾股定理即可求得：a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2．
解答：（1）证明：∵四边形abcd是矩形，ad∥bc，∠aef=∠efc，由折叠的性质，可得：
∠aef=∠cef，ae=ce，af=cf，∠efc=∠cef，cf=ce，af=cf=ce=ae，四边形afce为菱形；
2）a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2．
理由：由折叠的性质，得：ce=ae，四边形abcd是矩形，∠d=90°，ae=a，ed=b，dc=c，ce=ae=a，在rt△dce中，ce2=cd2+de2，a、b、c三者之间的数量关系式为：
a2=b2+c2．
点评：此题考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．
2024年中考数学模拟试题分类汇编 等腰三角形
等腰三角形。一 选择题。1 2010年黑龙江一模 如图，在等腰 abc中，abc 1200，点p是底边ac上一个动点，m n分别是ab bc的中点，若pm pn的最小值为2，则 abc的周长是 a 2 b c d 答案 d2.2010年广州市中考七模 已知等腰三角形的一个内角是30 那么这个等腰三角...
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