数学ⅰ 试题。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上。
1．已知集合，则。
2．复数的实部为。
3．已知且，则。
4．执行右边的流程图，得到的结果是。
5．已知满足不等式组则的最大值是。
6．为了解某校男生体重情况，将样本数据整理后，画出其频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第3小组的频数为12，则样本容量是。
7．设为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中正确的是填序号）
若则；若则；
若则；若则．
8．设直线和圆相交于a，b两点，则弦ab的垂直平分线方程是。
9．先后掷两次正方体骰子（骰子的六个面分别标有点数），骰子朝上的面的点数分别为，则是奇数的概率是。
10．已知等比数列中，公比，且，则。
11．在边长为6的等边△abc中，点m满足，则等于。
12．已知椭圆过点p（3，1），其左、右焦点分别为，且，则椭圆e的离心率是。
13．若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是。
14．已知，且，则的最大值是。
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分14分）
已知．）求在上的最小值；
）已知分别为△abc内角a、b、c的对边，，且，求边的长．
16．（本小题满分14分）
如图，在三棱柱中，底面△abc是等边三角形，d为ab中点．
）求证：平面；
）若四边形是矩形，且，求证：三棱柱是正三棱柱．
17．（本小题满分15分）
某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用（万元）和宿舍与工厂的距离的关系为：，若距离为1km时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设为建造宿舍与修路费用之和．
）求的表达式；
）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用最小，并求最小值．
18．（本小题满分15分）
如图，正方形abcd内接于椭圆，且它的四条边与坐标轴平行，正方形mnpq的顶点m，n在椭圆上，顶点p，q在正方形的边ab上，且a，m都在第一象限．
）若正方形abcd的边长为4，且与轴交于e，f两点，正方形mnpq的边长为2．
求证：直线am与△abe的外接圆相切；
求椭圆的标准方程．
）设椭圆的离心率为，直线am的斜率为，求证：是定值．
19．（本小题满分16分）
已知函数．）求函数的单调递减区间；
）若在上恒成立，求实数的取值范围；
）过点作函数图像的切线，求切线方程．
20．（本小题满分16分）
设数列满足．
）若，求的值；
）求证数列是等差数列；
）设数列满足：，且，若存在实数，对任意都有成立，试求的最小值．
高三数学参***。
第一部分。一、填空题：
二、解答题：
15.（ⅰ4分。
当时7分。（ⅱ）时有最大值，是三角形内角∴10分。
正弦定理∴． 14分。
16.（ⅰ连，设与相交于点，连，则为中点，∵为的中点4分。
∵平面，平面∴//平面； 7分。
（ⅱ）等边，为的中点 ∴
∵， 平面。
∵平面∴ ∵矩形∴ 11分。
∵∴平面。∵底面是等边三角形 ∴三棱柱是正三棱柱． 14分。
17.（ⅰ根据题意得3分。
7分。11分。
当且仅当即时14分。
答：宿舍应建在离厂5km处可使总费用最小为75万元15分。
18.（ⅰ依题意：，，
3分。为外接圆直径直线与的外接圆相切； 5分。
②由解得椭圆标准方程为10分。
（ⅱ）设正方形的边长为，正方形的边长为，则，，代入椭圆方程得。
14分。为定值15分。
19.（ⅰ得2分。
函数的单调递减区间是4分。
（ⅱ）即。设则7分。
当时，函数单调递减；
当时，函数单调递增；
最小值实数的取值范围是； 10分。
（ⅲ）设切点则即。
设，当时是单调递增函数 13分。
最多只有一个根，又。
由得切线方程是16分。
20.（ⅰ3∴=-13分。
得 5分。1为常数。
数列{}是等差数列7分。
当时（*）当时适合（*）式。
9分。数列是等比数列。
首项且公比11分。
记。①当时。
13分。当时。
14分。③当时。
15分。综上得则且∴的最小值为． 16分。
第二部分（加试部分）
由可得4分。
由可得属于的一个特征向量为7分。
由可得属于的一个特征向量为． 10分。
22．∵的参数方程（是参数）∴设 4分。
7分。的取值范围是． 10分。
4分。（ⅱ）可能取值为1，2，3，4，5，∴，的概率分布表为。7分。
答：x的数学期望是10分。
24．（ⅰ由得，
即，；，3分。
（ⅱ）由得：，
即，，…以上各式相乘得 5分。
7分。10分。
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