08线性代数试卷(a)
一、选择题（每题3分，共15分）
3.设是维列向量，阶方阵，，则在的。
个特征值中，必然。
a) 有个特征值等于1b) 有个特征值等于1c) 有1个特征值等于1d) 没有1个特征值等于1一定无解可能有解
一定有唯一解一定有无穷多解。
二、填空题（每题3分，共15分）
1.设是阶方阵a的伴随矩阵，行列式，则。
2. d中第二行元素的代数余子式的和其中。
d = 3. 已知实二次型正定，则实常数。
的取值范围为。
4. 2阶行列式 ,其中阶矩阵。
5. 设a=而2为正整数，则。
三、计算题(每题9分，共54分)
1. 计算阶行列式。
2. 求矩阵使
3. 设非齐次线性方程组有三个解向量。
求此方程组系数矩阵的秩，并求其通解(其中为已知常数)4. 已知实二次型 =经过正交。
变换，化为标准形，求实参数及正交矩阵。
5. 设线性方程组为 ，问，各取何值时，线性。
方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解。
6. 在四元实向量构成的线性空间中，求使为的基，并求由基的过渡矩阵，其中。
四、证明题(每题8分，共16分)
1. 设是欧氏空间的标准正交基，证明：
也是的标准正交基。
2. 设是元实二次型，有维实列向量，使，, 证明：存在维列实向量，使=0
线性代数考试a
参***。一、选择题。
1.(a) 2.(b) 3.(b) 4.(d) 5.(b)二、填空题。
三、计算题。
1. 解各列加到第一列，提出公因式。
8分。9分。
2. 3分。
9分。3. 由题设条件知，是的三个解，因此。
是对应的齐次线性方程组的线性无关解向量，因此，系数矩阵的秩2又中有二阶子式，2，因此＝23分。
因此－，－为其导出组的基础解系。由此可得线性方程组的通解：
为任意常数9分。
4.的矩阵有特征值
由2分。a对应的线性无关的特征向量。
5分。a对应的单位正交特征向量。
8分。于是正交变换x = qy中的正交矩阵。
9分 53分。
当4时，方程组有唯一解。
当4，2时，方程组无解5分。
当4，2时，＝3 < 4，方程组有无穷多组解，其通解为， 为任意常数9分。
6. 解： 2分。
设， 则。4分。
设 ,则。9分。
四、证明题。
1. 证：因为。
4分。所以是v的标准正交基8分。
2. 证：是不定二次型，设的正惯性指数为p,的秩为r，则， 2 分。
可经非退化线性变换化为规范形。
4分。取 ,则有使。8分。
08线性代数B卷
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08年线性代数A卷答案
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