一、选择题（每小题5分，共40分）
1．若集合，，则a∩b=（
a． b．
c． d．
2．圆心为且过原点的圆的方程是（ ）
a． b．
c． d．
3．下列函数中为偶函数的是（ ）
a． b． c． d．
4．某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有人，则该样本的老年教师人数为（ ）
a． b． c． d．
5．执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）
a． b． c． d．
6．设是非零向量，“”是“”的（ ）
a．充分而不必要条件 b．必要而不充分条件。
c．充分必要条件 d．既不充分也不必要条件。
7．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）
a． b． c． d．
8．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况。
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每千米平均耗油量为（ ）
a．升 b．升 c．升 d．升。
二、填空题。
9．复数的实部为 ．
10．三个数中最大数的是 ．
11．在中，，则= ．
12．已知是双曲线的一个焦点，则= ．
13．如图，及其内部的点组成的集合记为，为中任意一点，则的最大值为 ．
14．高三年级位学生参加期末考试，某班位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．
从这次考试成绩看，在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ；
在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是 ．
三、解答题（共分）
15．已知函数．
）求的最小正周期；
）求在区间上的最小值．
16．已知等差数列满足。
1）求的通项公式；
2）设等比数列满足，问：与数列的第几项相等？
17．某超市随机选取位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×表示未购买．
1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；
2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买种商品的概率；
3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
18．如图，在三棱锥中，平面⊥平面，为等边三角形，⊥且，，分别为，的中点．
1）求证：∥平面；
2）求证：平面⊥平面。
3）求三棱锥的体积．
19．设函数．
1）求的单调区间和极值；
2）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点．
20．已知椭圆：，过点且不过点的直线与椭圆交于两点，直线与直线交于点．
1）求椭圆的离心率；
2）若垂直于轴，求直线的斜率；
3）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．
2024年北京市高考数学试卷（文科）
参***与试题解析。
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．（2015北京）若集合a=，b=，则a∩b=（
a． b． c． d．
分析】直接利用集合的交集的运算法则求解即可．
解答】解：集合a=，b=，则a∩b=．
故选：a．2．（2015北京）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（ ）
a．（x﹣1）^^2+（y﹣1）^^2=1 b．（x+1）^^2+（y+1）^^2=1 c．（x+1）^^2+（y+1）^^2=2 d．（x﹣1）^^2+（y﹣1）^^2=2
分析】利用两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程．
解答】解：由题意知圆半径r=，圆的方程为（x﹣1）^^2+（y﹣1）^^2=2．
故选：d．3．（2015北京）下列函数中为偶函数的是（ ）
a．y=x^^^2sinx b．y=x^^^2cosx c．y=|lnx| d．y=2﹣^^x
分析】首先从定义域上排除选项c，然后在其他选项中判断﹣x与x的函数值关系，相等的就是偶函数．
解答】解：对于a，（﹣x）^^2sin（﹣x）=﹣x^^^2sinx；是奇函数；
对于b，（﹣x）^^2cos（﹣x）=x^^^2cosx；是偶函数；
对于c，定义域为（0，+∞是非奇非偶的函数；
对于d，定义域为r，但是2﹣（﹣x）=2^^^x≠2﹣^^x，2^^^x≠﹣2﹣^^x；是非奇非偶的函数；
故选b4．（2015北京）某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（ ）
a．90 b．100 c．180 d．300
分析】由题意，老年和青年教师的人数比为900：1600=9：16，即可得出结论．
解答】解：由题意，老年和青年教师的人数比为900：1600=9：16，因为青年教师有320人，所以老年教师有180人，故选：c．
5．（2015北京）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（ ）
a．3 b．4 c．5 d．6
分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，k的值，当a=时满足条件a＜，退出循环，输出k的值为4．
解答】解：模拟执行程序框图，可得。
k=0，a=3，q=
a=，k=1
不满足条件a＜，a=，k=2
不满足条件a＜，a=，k=3
不满足条件a＜，a=，k=4
满足条件a＜，退出循环，输出k的值为4．
故选：b．6．（2015北京）设，是非零向量，“=是“”的（ ）
a．充分而不必要条件 b．必要而不充分条件。
c．充分必要条件 d．既不充分也不必要条件。
分析】由便可得到夹角为0，从而得到∥，而∥并不能得到夹角为0，从而得不到，这样根据充分条件、必要条件的概念即可找出正确选项．
解答】解：（1）；
时，cos=1；
“”是“∥”的充分条件；
2）∥时，的夹角为0或π；，或﹣；
即∥得不到；
“”不是“∥”的必要条件；
总上可得“”是“∥”的充分不必要条件．
故选a．7．（2015北京）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）
a．1 b． c． d．2
分析】几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，可得答案。
解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，底面为正方形如图：
其中pb⊥平面abcd，底面abcd为正方形。
pb=1，ab=1，ad=1，bd=，pd==．
pc==该几何体最长棱的棱长为：
故选：c．8．（2015北京）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况。
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）
a．6升 b．8升 c．10升 d．12升。
分析】由**信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，由此得到该车每100千米平均耗油量．
解答】解：由**信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8；
故选：b．二、填空题。
9．（2015北京）复数i（1+i）的实部为 ﹣1 ．
分析】直接利用复数的乘法运算法则，求解即可．
解答】解：复数i（1+i）=﹣1+i，所求复数的实部为：﹣1．
故答案为：﹣1．
10．（2015北京）2﹣^^3，，log___25三个数中最大数的是 log___25 ．
分析】运用指数函数和对数函数的单调性，可得0＜2﹣^^3＜1，1＜＜2，log___25＞log24=2，即可得到最大数．
解答】解：由于0＜2﹣^^3＜1，1＜＜2，log___25＞log24=2，则三个数中最大的数为log___25．
故答案为：log___25．
11．（2015北京）在△abc中，a=3，b=，∠a=，则∠b= ．
分析】由正弦定理可得sinb，再由三角形的边角关系，即可得到角b．
解答】解：由正弦定理可得，即有sinb===由b＜a，则b＜a，可得b=．
故答案为：．
12．（2015北京）已知（2，0）是双曲线x^^^2﹣=1（b＞0）的一个焦点，则b= ．
分析】求得双曲线x^^^2﹣=1（b＞0）的焦点为（，0），（0），可得b的方程，即可得到b的值．
解答】解：双曲线x^^^2﹣=1（b＞0）的焦点为（，0），（0），由题意可得=2，解得b=．
故答案为：．
13．（2015北京）如图，△abc及其内部的点组成的集合记为d，p（x，y）为d中任意一点，则z=2x+3y的最大值为 7 ．
分析】利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．
解答】解：由z=2x+3y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点a时，直线y=的截距最大，此时z最大．
即a（2，1）．
此时z的最大值为z=2×2+3×1=7，故答案为：7．
14．（2015北京）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．
从这次考试成绩看，在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙 ；
在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学 ．
分析】（1）根据散点图1分析甲乙两人所在的位置的纵坐标确定总成绩名次；
2）根据散点图2，观察丙的对应的坐标，如果横坐标大于纵坐标，说明总成绩名次大于数学成绩名次，反之小于．
解答】解：由高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况的散点图可知。
2024年北京市高考数学试卷 理科
一 选择题 每小题5分，共40分 1 5分 2015北京 复数i 2 i a 1 2i b 1 2i c 1 2i d 1 2i 2 5分 2015北京 若x，y满足，则z x 2y的最大值为 a 0 b 1 c d 2 3 5分 2015北京 执行如图所示的程序框图输出的结果为 a 2，2 b 4...
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