张喜林制。
选取日期]2024年全国高校自主招生数学模拟试卷九。
一、 选择题（36分，每小题6分）
1．设全集是实数，若a=，b=，则a∩rb是( )
a)；2)ab，bc，cd，da；
3)a是a，b，c，d中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数的个数是___
三、解答题(60分，每小题20分)
1．设sn=1+2+3+…+n，nn*，求f(n)=的最大值．
2．若函数f(x)=－x2+在区间[a，b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a，b]．
3．已知c0：x2+y2=1和c1： +1 (a＞b＞0)．试问：
当且仅当a，b满足什么条件时，对c1上任意一点p，均存在以p为顶点，与c0外切，与c1内接的平行四边形？并证明你的结论．
2024年全国高校自主招生数学模拟试卷九。
参***。一．选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．设全集是实数，若a=，b=，则a∩rb是( )
a)，b=，故选d．
2．设sin＞0，cos＜0，且sin＞cos，则的取值范围是( )
a)(2k+，2k+)，kzb)( kz
c)(2k+，2k+)，k zd)(2k+，2k+)∪2k+，2k+)，kz
解：满足sin＞0，cos＜0的α的范围是(2k+，2k+π)于是的取值范围是(+，满足sin＞cos的的取值范围为(2k+，2k+)．故所求范围是(2k+，2k+)∪2k+，2k+)，kz．选d．
3．已知点a为双曲线x2y2=1的左顶点，点b和点c在双曲线的右分支上，△abc是等边三角形，则△abc的面积是( )
(abc)3d)6
解：a(－1，0)，ab方程：y= (x+1)，代入双曲线方程，解得b(2，)，s=3．选c．
4．给定正数p，q，a，b，c，其中pq，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx22ax+c=0( )
(a)无实根b)有两个相等实根 (c)有两个同号相异实根 (d)有两个异号实根。
解：a2=pq，b+c=p+q．b=，c=；
=a2－bc=pq－(2p+q)(p+2q)=－p－q)2<0．选a．
5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=x+的距离中的最小值是( )
abcd)
解：直线即25x－15y+12=0．平面上点(x，y)到直线的距离==．
5x－3y+2为整数，故|5(5x－3y+2)+2|≥2．且当x=y=－1时即可取到2．选b．
6．设ω=cos+isin，则以，3，7，9为根的方程是( )
a)x4+x3+x2+x+1=0b) x4x3+x2x+1=0
c) x4x3x2+x+1=0d) x4+x3+x2x1=0
解：ω5+1=0，故，3，7，9 都是方程x5+1=0的根．x5+1=(x+1)(x4－x3+x2－x+1)=0．选b．
二．填空题（本题满分54分，每小题9分）
1．arcsin(sin2000
解：2000°=180°×12－160°．故填－20°或－．
2．设an是(3)n的展开式中x项的系数(n=2，3，4，…)则。
解：an=3n－2c．∴ 故填18．
3．等比数列a+log23，a+log43，a+log83的公比是。
解：q===填．
4．在椭圆+=1 (a＞b＞0)中，记左焦点为f，右顶点为a，短轴上方的端点为b.若该椭圆的离心率是，则∠abf
解：c=a，∴|af|=a．|bf|=a，|ab|2=|ao|2+|ob|2=a2．
故有|af|2=|ab|2+|bf|2．即∠abf=90°．填90°．
或由b2=a2－c2=a2=ac，得解．
5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是___
解：取球心o与任一棱的距离即为所求．如图，ae=be=a，ag=a，ao=a，bg=a，ab∶ao=bg∶oh．
oh==a．v=πr3=πa3．填πa3．．
6．如果：(1)a，b，c，d都属于；
2)ab，bc，cd，da；
3)a是a，b，c，d中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数的个数是___
解：a、c可以相等，b、d也可以相等．
当a、c相等，b、d也相等时，有c=6种；
当a、c相等，b、d不相等时，有a+a=8种；
当a、c不相等，b、d相等时，有cc+c=8种；
当a、c不相等，b、d也不相等时，有a=6种；共28种．填28．
三、解答题(本题满分60分，每小题20分)
1．设sn=1+2+3+…+n，nn*，求f(n)=的最大值．
解：sn=n(n+1)，f(n)= n=8时取得最大值)．
2．若函数f(x)=－x2+在区间[a，b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a，b]．
解：⑴ 若a≤b<0，则最大值为f(b)=－b2+=2b．最小值为f(a)=－a2+=2a．即a，b是方程x2+4x－13=0的两个根，而此方程两根异号．故不可能．
若a<0当x=a或x=b时f(x)取最小值，①f(a)=－a2+=2a时．a=－2±，但a<0，故取a=－2－．由于|a|>|b|，从而f(a)是最小值．②f(b)=－b2+==2a>0．与a<0矛盾．故舍．
0≤a∴ －b2+=2a．－ a2+=2b．相减得a+b=4．解得a=1，b=3．
[a，b]=[1，3]或[－2－，]
3．已知c0：x2+y2=1和c1： +1 (a＞b＞0)．试问：
当且仅当a，b满足什么条件时，对c1上任意一点p，均存在以p为顶点，与c0外切，与c1内接的平行四边形？并证明你的结论．
解：设pqrs是与c0外切且与c1内接的平行四边形．易知圆的外切平行四边形是菱形．即pqrs是菱形．于是op⊥oq．
设p(r1cosθ，r1sinθ)，q(r2cos(θ+90°)，r2sin(θ+90°)，则在直角三角形poq中有r12+r22=r12r22(利用△poq的面积)．即+=1．
但+=1，即=+，同理， =相加得+=1．
反之，若+=1成立，则对于椭圆上任一点p(r1cosθ，r1sinθ)，取椭圆上点q(r2cos(θ+90°)，r2sin(θ+90°)，则=+，于是+=+1，此时pq与c0相切．即存在满足条件的平行四边形．故证．
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