东莞理工学院（本科）试卷10-11学年。
第二学期。高等数学b2》试卷答案及评分标准（b卷）
开课单位：计算机学院，考试形式：闭卷，允许带入场。
一、填空题：（共69分， 每空3分）
、若，则___0___
2、定积分___0
、定积分___0___
4、定积分__1
5、广义积分__发散___收敛、发散）.
6、广义积分___发散___收敛、发散）．
、函数与直线及轴所围成的图形的面积为．
8、平行于面且过点的平面方程．
9、已知函数，则该函数的全微分。
10、设函数，而，，则。
11、已知方程，则。
12、交换积分顺序： .
13、已知数项级数收敛， 则__0 _
14、已知正项级数，则该级数是__发散___收敛、发散）.
15、已知正项级数，则该级数是__收敛___收敛、发散）.
16、已知正项级数，则该级数是_收敛___收敛、发散）.
17、级数是绝对收敛 （绝对收敛、条件收敛）.
18、级数是绝对收敛 （绝对收敛、条件收敛）.
19、函数项级数的收敛半径是 1 ，收敛域是 [2,4] .
20、微分方程的通解是(c为任意常数).
21、微分方程的通解是
为任意常数).
22、微分方程的通解是为任意常数).
二、已知积分区域d是由所围成，作出d的草图，并求二重积分。（10分）
解如图(2分), 把积分区域d看成y-区域， 则d为(1分) 则。
2分1分)1分1分1分。
1分) 三、设周长为的矩形， 绕它的一边旋转构成圆柱体， 求矩形的边长各为多少时， 圆柱体的体积最大？（10分）(用拉格朗日乘数法求解)
解设矩形的边长分别为，则，即。且圆柱体的体积(2分). 因此， 该问题为求目标函数在约束条件下的最大值。
设拉格朗日函数为，(2分)则。
(3分) 得方程组唯一解： (2分)
由题意， 一定存在最大值， 所以最大值一定在取得。所以在矩形的边长分别取时， 而绕边长为的边旋转一周所得圆柱体的体积最大。 (1分)
四、求一曲线方程， 已知该曲线通过(2,3), 并且它在点处的切线斜率等于。(11分）
解设所求曲线为。由题意，得。
4分)这是分离变量的微分方程， 方程变形为。
1分)两边积分， 得，(1分)
得， 即，(2分)
将代入， 得， (2分)
故所求曲线为(1分)
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