结构固有特性分析在数学上称之为特征值和特征向量分析，包含固有频率与固有模态分析，是结构动力学中的主要任务之一。结构固有特性分析是为了研究结构振动的固有规律和内在本质，为结构动力学的进一步分析打下基础，在工程的实际应用以及在求解结构动力响应方面具有很重要的意义。到目前为止，已经发展了许多求解动态特征问题的数值方法。
在通常的特征值求解方法中，根据解法的特点，可分为四个基本类型：多项式迭代技术、应用特征多项式的sturm序列的分解法、矢量迭代法和变换方法。这里不对这些方法做一一介绍，只介绍一些典型常用方法的特点、理论依据以及它们的应用。
特征值问题的性质
结构无阻尼自由振动方程为。
设结构作简谐运动，即。
式中：ω为圆频率，θ为相位角，φ为振幅。将上式代人式（6-18）得：
或写成。
其中，；k，m分别为结构的刚度矩阵和质量矩阵。式（6-21）是结构动力学的广义特征值问题。显然，由式（6-21）求出的和的值，只取决于结构本身的刚度矩阵k和质量矩阵m，即它们是结构的固有值。
就是结构自振圆频率，称为结构的特征值，与ω相应的空间振动形态（即振型或模态）称为特征向量。式（6-21）反映的是结构的动态特性，我们的任务就是求解λ和。在研究特征值问题的具体算法之前，先讨论特征对的一些基本特性。
特征对有如下的特性：
1）如果k和m都对称，且至少有一个矩阵正定，则特征值一定是实数，特征向量也一定是实向量。如果m正定，并且k为正定或半正定，则所有特征值都是正的实数。
2）特征向量（或模态向量）关于质量矩阵m和刚度矩阵k正交，即：
在式（6-21）中将特征向量归一化，即：
式（6-24）称为归一化特征向量。则式（6-22），（6-23）有：
3）ralyeigh商和特征值的极大极小性质。定义：
称为ralyeigh商。其中为n维空间中的任一非零向量。由式（6-25）和（6-26）可以看出，当为系统的某阶特征向量时，则有：
可以证明：对于任意有。
即和。对于任意向量，的最小值是最小特征值。如果对施加约束，即选定向量，在满足的约束下选择，则在计算ralyeigh商的极小值时，选取不同的可得到不同的极小值。
当为系统的第一阶特征向量时，这些最小值集合的最大值是系统的第二特征值。依此类推，如果使ralyeigh商收敛到第i阶特征值，则需要i-1个约束。通过极小化和极大化过程，可以得到第i阶特征值。
或写为：
式（6-30）称为特征值的极大极小性质。利用特征值的极大极小性质，可以求取结构的任意特征值。
4）特征值的移轴性质。
式（6-21）两边分别减去，则有另一等价形式：
或写为。
式中：。显然，式（6-21）和式（6-32）有相同的特征向量，但特征值相差μ，即：
5）特征值的分隔性质。
作移轴，并将作三角分解，如果有，则对角矩阵d中有i个负元素。它也称为特征值问题的sturm序列特性。这是特征值问题中很重要的一个性质。
利用这一性质，可以在求解过程中判断是否出现丢根；也可以构造计算特征值的方法，如二分法等。
6）位移展开定理。
对于n维空间中的任意向量都可以按模态矩阵展开：
系数q可按下式确定：
即可表示为正交归一基的线性组合。
以上讨论的是广义特征值问题的一些基本特性，深入理解这些性质，对于求解特征值问题很有帮助。比如在求解特征对之前，有时要将刚度矩阵k和质量矩阵m作适当变换，化为新的形式，以便求解。例如，处理旋转结构，飞行中的飞行器，或刚度很大的结构被很柔的构件支承时，结构系统的刚度矩阵是奇异的，或接近病态，这时需要利用特征值的移轴性质将刚度矩阵化为非奇异矩阵。
二、迭代法
向量迭代法又称幂法，它既可用于标准特征值问题，也可用于广义特征值问题。它不仅适合于对称矩阵，也适合于非对称矩阵，因此它的适用范围较广。这里，只讨论广义特征值问题的向量迭代法。
最基本的向量迭代只能求出最大的特征值和相应的特征向量，或最小的特征值和相应的特征向量，其方法分别称为向量正迭代和向量逆迭代。下面介绍向量逆迭代法。
任意选取适当的初始向量，按迭代格式。
则向量序列将收敛于相应的特征向量。这是因为对任意向量：
则：按迭代格式式（6-36）有：
则：若，当时，式（6-40）中除对应的项外，其余都趋于零，即趋于与对应的特征向量。
由于当k增大时，可能会变得很大或很小。因此，在迭代过程中，需要将迭代向量规一化：
在实际的计算机程序中，计算方案如下。
选取初始向量，对进行如下运算：
1） （6-42a）
2） （6-42b）
3） （6-42c）
4） （6-42d）
若，则当时，必有：
（6-43a）
（6-43b）
式（6-42c）中的就是（6-27）中定义的rayleigh商。令为的当前近似值，迭代精度用下式给出：
这里为给定的小量。
在式（6-40）中，随着i的增大而减小。若无重根，令，则是中最大的比值。显然，若远小于1，则迭代次数很少；反之，则迭代次数很多才会收敛。
因此，反映出迭代法的收敛速度。影响收敛速度的另一个因素是系数，如果比，，大，那么会加快收敛，即迭择得好会加快收敛。
迭代法的迭代过程是自校正的。迭代向量中的误差只能延迟收敛，而不会破坏收敛性，因为任何一个带误差的向量都可以看作一个新的初始向量，然后再迭代下去，所以迭代不会发散，只是延迟收敛。向量逆迭代法的主要运算量是式（6-42a）。
一般预先将刚度矩阵进行分解，则可提高计算效率。
根据特征值的移轴性质可以构造带移轴的向量迭代方法。只要选取合适的移轴量，就可以既使迭代收敛到所需要的特征对，又可以加快收敛速度。根据迭代法的特性，若迭代向量与欲求的特征向量呈正交关系，则永远也不会收敛到该特征向量。
如果我们使所选的迭代向量与已求得的第一个特征向量正交，则迭代后将收敛到第二个特征向量。按此方法，依次可以求得其他各特征对。一般可以采用gram-schmidt方法构造与前m个向量正交的迭代向量。
如果我们选取的迭代向量不是一个，而是一组正交向量，则可以同时迭代求得一组特征对，这种方法我们称为同时迭代法。由于篇幅，在此不再赘述，有兴趣可参考有关资料。
三、变换法
标准特征值问题已有许多成熟的解法，因此，若将广义特征值问题化为标准特征值问题，则可直接利用这些标准特征值解法。下面介绍这一过程。
1. 广义特征值问题化为标准特征值问题
在式（6-4）广义特征值问题中，质量矩阵m对称正定，则一定存在非奇异矩阵，使得
成立。所以
在式（6-46）中，前乘，并令，则有；
即可得到标准特征值问题：
式中：。显然是对称的。质量矩阵m的分解，其典型方法有cholesky分解等。
2. 标准特征值问题的变换法。
标准特征值问题常用的变换法有雅可比方法（jacobi）、givens方法、householder方法，在一般的矩阵代数教材中均有详细叙述，在此我们只对雅可比方法简要介绍。
雅可比方法自2023年问世以来，至今仍被广泛采用。它是一种旋转变换方法，通过正交旋转变换把矩阵化为对角矩阵。该方法的特点是简单而稳定。
考察标准特征值问题，在经过k次变换后，有：
= k=1,2,3 （6-49）
这里，是一个旋转正交矩阵。雅可比方法的思想是经过多次旋转正交变换使矩阵对角化，对应的正交矩阵为：
其中，由矩阵中元素=0的条件来决定。当≠有：
tan2= （6-51）
当时，。正负号取决于的正负。
当时，矩阵a趋向于对角阵。但实际过程中无穷多次迭代是不可能的。一般只要做到对角占优，即非对角线元素比主对角线元素小得多就认为是对角化了。
值得注意的是，在一次旋转中已化为零的非对角线元素，一般在下次旋转中又会变成非零，因而收敛缓慢。克服此问题的一个简单的办法是逐行或逐列进行旋转变换。这样逐行或逐列旋转变换全部非对角线元素一次被称为扫描一次。
扫描的缺点是不论非对角元素的大小如何都作旋转变换，这样势必造成浪费。为了加快收敛速度，在扫描过程中设定一个阈值，大于它则进行旋转变换，小于它则不进行旋转变换，这样可减少许多计算量。设定收敛允许精度为s，则：
及：满足式（6-52）表明对角线元素是特征值的近似值，满足式（6-53）则确保非对角线元素足够小。阈值即为式（6-53）中的s。该式表达了一种限定关系，一般取法是，对于第k次旋转，取 s=2k。
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