八年级数学培优训练题。
补形法的应用。
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一些几何题的证明或求解，由原图形分析**，有时显得十分繁难，若通过适当的“补形”来进行，即添置适当的辅助线，将原图形填补成一个完整的、特殊的、简单的新图形，则能使原问题的本质得到充分的显示，通过对新图形的分析，使原问题顺利获解。这种方法，我们称之为补形法，它能培养思维能力和解题技巧。我们学过的三角形、特殊四边形、圆等都可以作为“补形”的对象。
现就常见的添补的图形举例如下，以供参考。
一、补成三角形。
1.补成三角形。
例1.如图1，已知e为梯形abcd的腰cd的中点；
证明：△abe的面积等于梯形abcd面积的一半。
分析：过一顶点和一腰中点作直线，交底的延长线于一点，构造等面积的三角形。这也是梯形中常用的辅助线添法之一。
略证：2.补成等腰三角形。
例2 如图2.已知∠a＝90°，ab＝ac，∠1＝∠2，ce⊥bd，求证：bd＝2ce
分析：因为角是轴对称图形，角平分线是对称轴，故根据对称性作出辅助线，不难发现cf＝2ce，再证bd＝cf即可。
略证：3.补成直角三角形。
例3.如图3，在梯形abcd中，ad∥bc，∠b＋∠c＝90°，f、g分别是ad、bc的中点，若bc＝18，ad＝8，求fg的长。
分析：从∠b、∠c互余，考虑将它们变为直角三角形的角，故延长ba、cd，要求fg，需求pf、pg。
略解：4.补成等边三角形。
例4.图4，△abc是等边三角形，延长bc至d，延长ba至e，使ae＝bd，连结ce、ed。
证明：ec＝ed
分析：要证明ec＝ed，通常要证∠ecd＝∠edc，但难以实现。这样可采用补形法即延长bd到f，使bf＝be，连结ef。
略证：二、补成特殊的四边形。
1.补成平行四边形。
例5.如图5，四边形abcd中，e、f、g、h分别是ab、cd、ac、bd的中点，并且e、f、g、h不在同一条直线上，求证：ef和gh互相平分。
分析：因为平行四边形的对角线互相平分，故要证结论，需考虑四边形gehf是平行四边形。
略证：2.补成矩形。
例6.如图6，四边形abcd中，∠a＝60°，∠b＝∠d＝90°，ab＝200m，cd＝100m，求ad、bc的长。
分析：矩形具有许多特殊的性质，巧妙地构造矩形，可使问题转化为解直角三角形，于是一些四边形中较难的计算题不难获解。
略解：3.补成菱形。
例7.如图7，凸五边形abcde中，∠a=∠b＝120°，ea＝ab＝bc＝2，cd＝de＝4，求其面积。
分析：延长ea、cb交于p，根据题意易证四边形pcde为菱形。
略解：4.补成正方形。
例8.如图8，在△abc中，ad⊥bc于d，∠bac＝45°，bd＝3，dc＝2。求△abc的面积。
分析：本题要想从已知条件直接求出此三角形的面积确实有些困难，如果从题设∠bac＝45°，ad⊥bc出发，可以捕捉到利用轴对称性质构造一个正方形的信息，那么问题立即可以获解。
略解：5.补成梯形。
例9．如图9，已知： g是△abc中bc边上的中线的中点，l是△abc外的一条直线，自a、b、c、g向l作垂线，垂足分别为a1、b1、c1、g1。求证：
gg1＝(2aa1＋bb1＋cc1)。
分析：本题从已知条件可知，中点多、垂线多特点，联想到构造直角梯形来加以解决比较恰当，故过d作dd1⊥l于d1，则dd1既是梯形bb1c1c的中位线，又是梯形dd1a1a的一条底边，因而，可想到运用梯形中位线定理突破，使要证的结论明显地显示出来，从而使问题快速获证。
略证：三、练习1、在△abc中，ac=bc，d是ac上一点，且ae垂直bd的延长线于e，又ae=bd，求证：be平分∠abc。
2、如图，已知：在△abc内，∠bac=60°，∠acb=40°，p、q分别在bc、ca上，并且ap、bq分别是∠bac、∠abc的角平分线，求证：bq+aq=ab+bp
3、已知：∠bac=90°，ab=ac，ad=dc，ae⊥bd，求证：∠adb=∠cde
4、设正三角形abc的边长为2，m是ab边上的中点，p是bc边上的任意一点，pa+pm的最大值和最小值分别记为s和，求：s－t的值。
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