第四章材料非线性有限元法。
以上三章分别研究了线性弹性有限元法，材料非线性本构方程和非线性方程组解法，本章就可以研究材料非线性有限元法了。
在材料非线性基本方程中，除第二章所述的本构方程外，与线性弹性一样，而非线性有限元法又归结为一系列线性弹性问题。因此，只要在第一章中改用第二章的本构方程，就可建立材料非线性有限元法的基本内容。
4-1 非线性弹性有限元法。
第二章提到，非线性弹性本构方程与形变理论弹塑性本构方程在形式上相同，所以与第二章一样，这里也按塑性力学形变理论，研究非线性弹性有限元法，以便把二者统一起来。
1． 非线性弹性基本方程为了便于以后直接引用，这里列出全量形式的非线性弹性（或形变理论弹塑性）基本方程，并用矩阵表示。
几何方程1.14)
本构方程： =d2.13)
平衡方程： (在内1.20)
边界条件： （在a上1.22）
在a上1.23)虚功方程：
位能变分方程： =01.31)其中。
2． 非线性方程组的建立由于虚功方程本身不涉及材料性质，所以第一章由虚功方程得到的单元平衡方程（1.48）式和总体平衡方程（1.109）式完全适用于非线性弹性（或形变理论弹塑性）问题。
可见，只要把非线性弹性（或形变理论弹塑性）本构方程代入单元或总体的平衡方程，就可以建立非线性方程组。
（1）割线刚度方程仿照线性弹性有限元法，把（1.36）式代入（2.13）式后，再把（2.13）代入（1.48）式便得单元割线刚度方程，即。
其中单元割线刚度矩阵。
而割线本构矩阵，如（2.14）式所示。
仿照（1.113）式的推导，同样可得总体割线刚度方程。即。
其中总体割线刚度矩阵。
而总体节点载荷仍如（1.110）式所示。
由（4.5）式可知，总体割线刚度矩阵[k]取决于各单元的等效应变；又由（2.5）式可知，等效应变是由应变{}计算出来的；再由（1.
36）和（1.106）式可知，应变{}与总体节点位移有关。可见，总体割线刚度矩阵[k]是总体节点位移的函数，所以总体割线刚度方程（4.
4）式是一个非线性方程组。
必须指出，建立非线性方程组（4.4）式，只是为了说明非线性弹性（或形变理论弹塑性）有限元方程的非线性性质。实际求解时并不用（4.
4）式。因为求解（4.4）式要用直接迭代法，而正如 3-2指出，直接迭代法不但计算量太大，而且常常不收敛。
（2）切线刚度矩阵由 3-2---3-6可知，在求解非线性方程组时，除上述直接迭代法外，都要用到切线刚度矩阵（至少要用到初始切线刚度矩阵[k]和[k]）。为此，这里讨论一下建立非线性弹性（或形变理论弹塑性）有限元方程中的切线刚度矩阵问题。
由（1.109）和（3.11）式可知。
于是由（3.10）和（4.6）式可得。
由于由（2.16），（1.36）和（1.106）式，并考虑到符号d{}和d{}
分别是和，有。
所以把（4.8）--4.10）式代入式（4.7）式便得总体割线刚度矩阵，即。
其中单元切线刚度矩阵。
（3）具有初应变理论或初应力的刚度方程仿照线性弹性有限元法，把形式上相同的（3.101）式代入（2.13）式，并令{}=或{}=再把（2.
13）式代入（1.48）式便得单元刚度方程，即。
或。其中单元刚度矩阵和初应变，初应力节点载荷，{}仍分别如（1.50）和（1.53）、（1.
54）式所示。但要强调，这里[k]的含义是单元初始切线刚度矩阵；{}中的初应变{}或{}中的初应力{}随迭代过程而变。
仿照线性弹性有限元法，同样可得总体刚度方程，即。
或。其中总体刚度矩阵和总体初应变、初应力节点载荷{}、在形式上均与线性弹性有限元法相同。
3． 等效应力、等效应变关系由（4.11）--4.16）式可知，要建立并求解非线性弹性（或形变理论弹塑性）有限元方程，关键是要具体知道材料的本构矩阵。
而由（2.14）和（2.18）式可知，只要（2.
15）和（2.19）式中的函数关系是已知的，那么本构矩阵就是显式的。
根据单一曲线假设，和的关系与单向拉伸时相同，即。
再考虑体积不可压缩条件（），则。
其中取决于所采用的简化模型。
理想塑性（见图4-1）：
线性强化塑性（见图4-2）：
幂次强化塑性（见图4-3）：
4． 迭代公式的具体化由于非线性弹性（或形变理论弹塑性）有限元方程一般都写成全量形式，所以这里只相应的列出几种迭代类型解法的具体迭代公式。
1）newton-raphson法由（1.36）、（1.106）和（2.5）式以及（3.17）和（3.18）式，有。
2）初应变迭代法由（2.10）、（2.13）和（3.99）、（3.101）式可知。
所以仿照newton-raphson法，并考虑到（3.109）和（3.110）式，有。
（3）初应力迭代法由（2.10）、（2.13）和（3.118）、（3.120）式可知。
所以仿照newton-raphson法，并考虑到（3.126）和（3.127）式，有。
4-2 非线性弹性手算例题。
为了熟悉非线性弹性(或形变理论弹塑性)有限元法及其非线性方程组的求解过程，这里以图4-4(a)所示的弹塑性拉压超静定问题为例，用newton-raphson法、初应变迭代法、初应力迭代法进行手算。其中用newton-raphson法的求解作较详细的叙述，以便了解非线性弹性(或形变理论弹塑性)有限元分析的全过程，而用其他方法的求解只给出主要计算过程和计算结果。在该拉压超静定杆中划分的节点和单元如图4-4（a）中所示。
单元①和②分别由线性强化材料和线性弹性材料制成，如图4-4（b）和（c）所示。两个单元的截面积均为，长度均为，弹性模量均为，单元①的强化模量为。节点2所受集中载荷，其中为单元①的屈服极限。
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