四、匀速圆周运动。
1、匀速圆周运动定义：质点沿圆周运动，相等的时间里通过的圆弧长相等。
2、匀速圆周运动性质：此“匀速”仅指速度的大小不变，但速度的方向时刻在变，变速运动。
3、描述匀速圆周运动的基本物理量。
1）线速度：质点通过的弧长与时间的比值 （矢量，方向沿切线方向单位：m/s）
2）角速度：连接质点和圆心的半径转过的圆心角跟时间的比值。
3）周期（t）：质点运动一周的时间。 （单位：s）
4）率频率（f）：质点1s钟内运动的圈数 f=1/t
4、传动中的速度关系。
例1】：甲、乙、丙三个轮子是由大小两个轮轴组成的，大小轮半径之比为r：r＝3：
2，用皮带逐一连起来，当甲轮外缘线速度为vo，角速度为0ω时，丙轮外缘线速度多大？角速度多大？
例2】雨伞边缘到伞柄的距离为r，伞边缘距地面高为h，当雨伞以角速度ω绕伞柄匀速转动时，雨滴从伞边缘水平甩出，求雨滴落到地面的轨迹半径（不计空气阻力）
物理模型在圆周运动中的应用。
摘要：在圆周运动中常见的物理模型有轻绳，轻杆和圆锥摆模型，正确认识每一中模型的特点，善于识别形已质同的模型，建立正确的物理模型，是分析和解决物理问题的关键。
一．轻绳模型。
1. 轻绳模型的特点：
轻绳的质量和重力不计；
可以任意弯曲，伸长形变不计，只能产生和承受沿绳方向的拉力；
轻绳拉力的变化不需要时间，具有突变性。
2. 轻绳模型在圆周运动中的应用。
小球在绳的拉力作用下在竖直平面内做圆周运动的临界问题：
临界条件：小球通过最高点，绳子对小球刚好没有。
力的作用，由重力提供向心力：
小球能通过最高点的条件：（当时，绳子对球产生拉力）
不能通过最高点的条件：（实际上小球还没有到最高点时，就脱离了轨道）
例：质量为的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度为，当小球以的速度经过最高点时，对轨道的压力是（ ）
a 0bcd
分析：内侧轨道只能对小球产生向下的压力，其作用效果同轻绳一样，所以其本质是轻绳模型。
当小球经过最高点的临界速度为，则。
当小球以的速度经过最高点时，轨道对小球产生了一个向下的压力，则。
根据牛顿第三定律，小球对轨道压力的大小也是，故选。
二．轻杆模型：
1. 轻杆模型的特点：
轻杆的质量和重力不计；
任意方向的形变不计，只能产生和承受各方向的拉力和压力。
轻杆拉力和压力的变化不需要时间，具有突变性。
2. 轻杆模型在圆周运动中的应用。
轻杆的一端连着一个小球在竖直平面内做圆周运动，小球通过最高点时，轻杆对小球产生弹力的情况：
小球能通过最高点的临界条件：，（为支持力）
. 当时，有（为支持力）
当时，有（）
当时，有（为拉力）
例：半径为的管状轨道，有一质量为的小球在管状轨道内部做圆周运动，通过最高点时小球的速率是，，则（ ）
a. 外轨道受到的压力。
b. 外轨道受到的压力。
c. 内轨道受到的压力。
d. 内轨道受到的压力。
分析：管状轨道对小球既有支持力又有压力，所以其本质属于杆模型：
当小球到最高点轨道对其作用力为零时：有。
则，=所以，内轨道对小球有向上的支持力，则有。
代入数值得：
根据牛顿第三定律，小球对内轨道有向下的压力大小也为，故选。
三．圆锥摆模型：
圆锥摆模型在圆周运动中的应用：
1. 如图所示：摆球的质量为，摆线长度为，摆动后。
2. 摆线与竖直方向成角，则。
分析：摆球在水平面上做匀速圆周运动，加速度必定指。
向圆心，依据牛顿第二定律，对摆球受力分析，得：
拓展延伸，解决水平面内的匀速圆周的问题仍然是牛顿定律的问题，运用规律时采用的基本方法是正交分解法，圆锥摆是物理学中一个基本模型，许多现象都含有这个模型。
例：小球在半径为的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度，周期的关系。（小球的半径远小于）
分析：小球做匀速圆周运动的圆心在和小球等高的。
水平面上（不在半径的球心），向心力是重力和支持力的。
合力，所以是一个圆锥摆模型，则：
由此可得：本题是一个圆锥摆模型，分析方法同样适用自行车，摩托车，火车转弯，飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题。共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向水平。
万有引力定律。
一）、准备知识。
1． 线速度 （单位：）
2．角速度 （单位：)
3．周期(单位：s)
4．转速（单位：）
5．加速度
6．加速度或。
的意义：的方向始终指向圆心，只改变v的方向，不改变v的大小。
描述v方向的变化快慢。
7．向心力
n为在时间t内所转的圈数）
8．开普勒第一定律(轨道定律):
所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。
9．开普勒第二定律(面积定律):
对于每一个行星而言，太阳和行星的联线在相等的时间内扫过相等的面积。
10．开普勒第三定律(周期定律):
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。
公式表示：
二）、万有引力定律。
1.万有引力定律的推导。
定律的推导：把行星绕太阳运动的椭圆轨道可以近视看作为一个圆形轨道行星受到向心力根据开普勒第三定律（常数）代入上式得：，其中m为行星的质量，r为行星轨道半径，故f∝，而与中心天体相关。
根据力的相互性得f∝。
牛顿还研究了月地间的引力、许多不同物体间的作用力都遵循上述引力规律，于是他把这一规律推广到自然界中任意两个物体间，即具有划时代意义的万有引力定律。
2.万有引力定律：
内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比。
公式： 理解：
.g为万有引力常量，g=6.67×10-11，单位为n·m2/kg2.是英国的物理学家卡文迪许测出来的。
.若为质点间，r表示质点间距离；若为球体与质点间，r表示质点和球体间距离；若为球体间，则r表示球体间距离。
③性质：宏观性。 普遍性。 相互性。
⑷注明：r不能为0。
3.引力常数的测定：
实验装置示意图：
实验中的科学方法及其物理思想： 两次“放大”
尽可能地增大了t形架连接两球的长度l，使m和m' 之间的万有引力能产生较大的力矩，使得石英丝有较大的偏转角度。
尽可能地增大弧形尺与小镜间距离r，使小镜m上的反射光在弧线上移动的距离s较大。
卡文笛许实验的意义：
证明了万有引力的存在。
开创了测量弱力的新时代。
使得万有引力定律有了真正的实用价值。
4.万有引力和重力。
不考虑地球自转时：
①由得，（**代换）
②离地面高h处，由得，考虑地球自转时，万有引力除了提供重力外，还提供自转所需向心力。 （此处为矢量式）
考点例析：例题一：对于万有引力的公式的理解，下列说法正确的是（ ）
a.公式中g为引力常量，是牛顿通过计算而得出的。
趋于0时，万有引力无穷大。
c. 受到的万有引力总是与的乘积成正比。
d. 受到的万有引力总是大小相等，方向相反，是一对平衡力。
解析：本题考查的是基础概念的理解。引力常量是由卡文迪许通过实验的出的，a错；r趋于0时，万有引力的公式将不再适用，b错；万有引力的作用是相互的，是作用力与反作用力，d错；万有引力的大小与质量的乘积成正比，而不和每一个单独的质量成正比。
故答案选c。
例题二：如图，两个半径分别为r,r的均匀球体，质量分别为两球间距离为l，则两球间万有引力大小为（ ）
ab. cd.
解析：本题考查的是公式中r的理解。当为球体间万有引力时，r为球心连线的距离。故答案选d。
例题三：地球质量大约是月球质量的81倍，在登月飞船经过地。 月之间的某一位置时，月球和地球对它的引力大小相等，该位置到月球中心和地球中心的距离之比为？ （
a. 1：27 b. 1：9 c.1：3 d.9：1
解析：本题考查的是万有引力公式的应用。地球和月球都对飞船有引力，而且引力大小相等。所以引力大小相等因作为本题的突破口。则。
故答案选b。
例题四：设想把质量为m的物体放大地球的中心，地球的质量为m，半径为r，则物体与地球间的万有引力是 （
a. 0b. 无穷大
c. d. 无法确定。
解析：本题考查的是万有引力公式的理解。万有引力公式中r不能等于0，所以这个题目不能简单的套用万有引力的公式。
此题的解法可以采取对称法，即把地球分为上下两半，上面一半对物体的引力为f，方向向上；下面一半对物体的引力也必为f，方向向下。合力为0，故答案选a。
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