第九章牛吃草问题。
知识要点。英国大科学家牛顿著的《普通算术》－书有这样一道题：12头牛4周吃草3格尔，同样的牧草，21头牛9周吃10格尔。
问24格尔牧草，多少头牛18周吃完(格尔——牧场面积单位)?以后人们称这类问题为牛顿的“牛吃草问题”。
牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片地的草，这块地既有原有的草，又有每天新长的草。由于吃草的天数不同，求若干头牛吃这片地的草可以吃多少天。解题的关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题中所求的问题。
这类问题的基本数量关系：
1.(牛的头数×吃草较多的天数＝牛的头数×吃草较少的天数)÷(吃得较多的天数＝吃得较少的天数)＝草地每天新长草的量。
2.牛的头数×吃草天数＝每天新长草量×吃草天数＝草地原有的草。
典例巧解。例1 (第五届“希望杯”邀请赛试题)2006年夏天我国某地区遭遇了严重干旱，**为了解决村民饮水问题，在山下的一眼泉水旁修了一个蓄水池，每小时有40立方米泉水注入池中。第一周开动5台抽水机，2.
5小时就把一池水抽完；接着第二周开动8台抽水机，1.5小时就把一池水抽完。后来由于旱情严重，开动13台抽水机同时供水，请问这时几小时可以把这池水抽完？
点拨由5台抽水机2.5小时抽完可知：5×2.
5＝12.5(台·时)是池中原有的水和2.5小时新进的水；8×1.
5＝12(台·时)是池中原有的水和1.5小时新进的水，又每小时有40立方米泉水注入池中，可求出一台抽水机一小时的抽水量为：40×(2.
5－1.5)÷(5×2.5－8×1.
5)＝80(立方米)，原池水的量为：80×8×1.5－40×1.
5＝900(立方米)，而13台抽水机抽完这池水需要900÷(80×13－40)＝0.9(小时)。
解一台抽水机一小时的抽水量为：
40×(2.5－1.5)÷(5×2.5－8×1.5)＝80(立方米)
一池水的量为：
80×8×1.5－40×1.5＝900(立方米)
同时开动13台抽水机抽完这池水需要的时间：
900÷(80×13－40)＝0.9(小时)
答：同时开动13台抽水机，0.9小时可以把这池水抽完。
例2 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长。这片牧场可供10头牛吃20天，或可供15头牛吃10天。问可供25头牛吃几天？(每头牛每天的吃草量相同)
点拨我们可以列二元一次方程组来解答，也可摘录条件对比分析，用算术方法解答。
解法一用列方程法。
设牧场原有草量为x，每天新长的草量为y。
①式－②式得10 y＝50
y＝5将y＝5代入①式得x＋20×5＝10×20
x＝100我们知道这个牧场原有草相当于100头牛吃一天，还知道每天新长的草相当于5头牛吃一天。我们接着设牧场的草可供25头牛吃z天。则有。
100＋5 z＝25z
即 z＝5答：可供25头牛吃5天。
解法二算术方法，摘录条件对比分析。
10×20＝200(牛·天)＝原有草＋20天新长草。
15×10＝150(牛·天)＝原有草＋10天新长草。
对比分析：200(牛·天)包含牧场原有草和20天新长的草，而150(牛·天)包含牧场原有草和10天新长的草。通过比较可知：
200－150＝50(牛·天)就是20天比10天多长10天的草，从而可求出牧场每天新长草的数量：
(10×20－15×10)÷(20－10)＝5(牛·天)
每天新长的草相当于一头牛吃5天的草量，从10×20＝200(牛·天)去掉20天新长的草，就是牧场原有的草：
10×20－5×20＝100(牛·天)
牧场原有的草够100头牛吃一天。我们将25头牛分为两部分，即20头和5头，20头牛专吃原有的草，5头牛专吃新长的草。这样当20头牛将原有的草吃光时，5头牛也将牧场新长的草吃光。
所以有。
100÷(25－5)＝5(天)
综合算式：新长草：(10×20－15×10)÷(20－10)＝5(牛·天)
原有草：10×20－5×20＝100(牛·天)
100÷(25－5)＝5(天)
答：可供25头牛吃5天。
例3 一片牧场，可供9头牛吃12天，也可供8头牛吃16天。现在开始只有4头牛吃，从第七天起又增加了若干头牛来吃草，再吃6天吃完所有的草。问从第七天起增加了多少头牛？
(草每天均匀生长，每头牛每天吃草量相同)
点拨 9头牛吃12天的草量9×12＝108(牛·天)是牧场原有草与12天新长草的和；而8×16＝128(牛·天)是牧场原有草与16天新长草的和，对比可知每天新长草的数量。
解每天新长草：(8×16－9×12)÷(16－12)＝5(牛·天)
原有的草：8×16－5×16＝48(牛·天)
由先吃6天，再吃6天可知牧场的草长了12天，所以到12天牧场共有草：
48＋5×12＝108(牛·天)
4头牛6天吃的草量：
4×6＝24(牛·天)
去掉4头牛吃6天的，余下的草多少头牛又吃6天，所以是。
(108－24)÷6＝14(头)
14－4＝10(头)
答：从第七天起增加了10头牛。
例4 12头牛28天能吃完10公顷牧场上的全部牧草，21头牛63天能吃完30公顷牧场上的全部牧草。如果每公顷牧场上原有的草量相等，每公顷牧场上每天草生长量相同，那么，多少头牛126天可以吃完72公顷牧场上的全部牧草？
点拨设法统一牧场的面积，找出下面两个量来：一公顷原有草量和一公顷一天的新生草量。
解设每头牛每天的吃草量为1。
(1)12头牛28天吃完1公顷牧场上的草，相当于多少牛吃一天？
1×12×28÷10＝33.6(头)
(2)21头牛63天吃完1公顷牧场上的草，相当于多少头牛吃一天？
1×21×63÷30＝44.1(头)
(3)1公顷牧场1天新生的草量，相当于多少头牛吃一天？
44.1－33.6)÷(63－28)＝0.3(头)
(4)1公顷牧场原有草量，相当于多少头牛吃一天？
44.1－0.3×63＝25.2(头)
(5)多少头牛126天可以吃完72公顷牧场上的草？
＝36(头)
答：36头牛126天可以吃完72公顷牧场上的全部牧草。
例5 画展9点开门，但早就有人排队等候入场。从第一名观众来到时起，每分钟来的观众一样多。如果开三个人场口，则9点9分就不再有人排队；如果开五个入场口，则9点5分就没有人排队。
那么第一名观众到达时间是8点几分？
点拨 9点到9点9分经过9分钟，9点到9点5分经过5分钟。三个入口9分钟进人量为3×9＝27，相当于一个口进27分钟。五个人口5分钟进人量为5×5＝25，相当于一个口进25分钟，对比可知每分钟来人量是(27－25)÷(9－5)＝0.
5。9点之前来人量是27－9×0.5＝22.
5，22.5÷0.5＝45(分钟)，所以第一个人9点时已到45分钟，即8点15分到的。
解新增加入数量：(3×9－5×5)÷(9－5)＝0.5
原有人数量：3×9－0.5×9＝22.5
第一个人到场已过的时间：22.5÷0.5＝45(分钟)
答：第一个人到达时间为8点15分。
例6 甲、乙、丙三辆车同时从同一地点出发，沿同一条公路追赶前面骑自行车的人。甲车每小时行54千米，乙车每小时行48千米。甲车6分钟追上骑自行车的人，乙车7分钟追上骑自行车的人，丙车14分钟追上骑自行车的人。
丙车每小时行多少千米？
点拨甲车每分钟行54000÷60＝900(米)，乙车每分钟行48000÷60＝800(米)。由题中条件可知：甲车6分钟行的路程900×6＝5400(米)，这5400米包含甲车与骑车人的距离差和骑车人6分钟骑的路程。
乙车7分钟行的路程800×7＝5600(米)，这5600米包含乙车与骑车人的距离差和骑车人7分钟走的路程。由于甲、乙、丙三车与骑车人的距离差相同，对比可知。
甲车速度：54000÷60＝900(米／分钟)
乙车速度：48000÷60＝800(米／分钟)
解骑车人每分钟行的距离：
(800×7－900×6)÷(7－6)＝200(米)
距离差为：900×6－200×6＝4200(米)
丙车每分钟行的距离：
(4200＋200×14)÷14＝500(米)
500×60＝30000米＝30(千米)，答：丙车每小时行30千米。
例7 两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3级阶梯，女孩每秒可走2级阶梯。结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。问该扶梯共有多少级？
点拨男孩100秒共走了3×100＝300(级)，这300级包含扶梯的级数和100秒扶梯自动降下的级数。女孩300秒共走了2×300＝600(级)，这600级包含扶梯的级数和300秒扶梯自动降下的级数。对比可知扶梯每秒自动下降的级数为：
(2×300－3×100)÷(300－100)＝1.5(级)。扶梯的级数为：
3×100－1.5×100＝150(级)。
解 (2×300－3×100)÷(300－100)＝1.5(级)
3×100－1.5×100＝150(级)
答：扶梯共有150级。
解题技巧。牛吃草问题指的是关于一群牛在一块均匀生长的草地上吃草的问题。由于草的总量是在不断变化的(假设其均匀变化)，因此工作总量不固定且在均匀变化，解这类问题的关键是要正确计算草地上原有的草及每天长出的新草。
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