第三章测验考试卷5
姓名班级学号
一、填空（每空3分）
1、方程定义在矩形域r：上，则经过点（0，0）的解的存在区间是。
2、方程经过（0，0）点的解的存在区间是（ ）
3、函数f(x,y)称为在r上关于y满足利普希茨条件，如果（
对于所有都成立。
4、如果f(x,y)在r上连续且关于y满足利普希茨条件，则存在唯一的解，定义于区间上，连续且满足初始条件，这里，h
5、皮卡逐步逼近函数序列是。
6、若函数f(x,y)在区域g内（ ）且关于y满足利普希茨条件，则方程的解作为的函数在它的存在范围内是。
7、若为毕卡逼近序列，则有。
8、形如的方程，称为克莱罗方程。
9、设定义于，满足条件则方程x=f(x)存在唯一的一个解。
二、计算题（每题10分）
1、求的解，并求其奇解。
2、求的通解及其奇解。
3、求的奇解。
4、求初值问题的解的存在区间，并求其第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。
5、求曲线族的包络。
6、求一曲线，使它上面的每一点的切线截割坐标轴使两截距之和等于常数c.
三、证明题（10分）
1、试证：就克莱洛方程来说，p-判别曲线和方程通解的c-判别曲线同样是方程通解的包络，从而为方程的奇解。
2、试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明：
一阶线性方程，当p（x）、q(x)在上连续时，其解存在唯一。
答案。一、1、
3、存在常数l>0，使得不等式。
6、连续连续的。
9、其中n<1
二、1、解：
这是克莱罗方程，因此方程的通解为，从中消去c,得方程的奇解。
2、解：从中消去p得y=-x;
再求通解，将方程写为
即 ，通解为，从中消去c，得x=0及y=-x，按c—p消去法知y=-x是奇解。
3、解： ，所以可能破坏解的唯一性，它可能是奇解。
验证1）显然是方程的解；
2）由分离变量法，求得方程的通解是，在y=1上任取一点，通解表达式中有解。
通过点，且其上导数，即此解与y=1相切，故y=1是奇解。
同理，y=-1也是方程的奇解。
4、解： 又，由，所以，=。
5、解：对c求导，得 –2(x-c)-2(y-c)=0, ,代入原方程得。
经检验，得是原方程的包络。
6、解：设所求曲线方程为y=y(x),以x、y表坐标系，则曲线上任一点（x,y(x)）的切线方程为，它与x轴、y轴的截距分别为，按条件有，化简得，这是克莱洛方程，它的通解为一族直线，它的包络是，消去c后得我们所求的曲线。
三、1、证：克莱洛方程 y=xp+f(p)的p-判别曲线就是用p-消去法，从中消去p后而得的曲线；
c-判别曲线就是用c-消去法，从通解及它对求导的所得的方程。
中消去c而得的曲线，显然它们的结果是一致的，是一单因式，因此p-判别曲线是通解的包络，也是方程的通解。
2、证明：因为p（x）、q(x)在上连续，也连续，故，当p（x）、q(x)在上连续时，其解存在唯一。
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