2011年导数高考题。
1(安徽10) 函数在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则m，n的值可能是。
a） (b)
(c) (d)
选b2湖北理6.已知定义在r上的奇函数和偶函数满足，若，则选b
ab. c. d.
3(湖北10).放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量（单位：太贝克）与时间（单位：
年）满足函数关系：，其中为时铯137的含量，已知时，铯137的含量的变化率是（太贝克/年），则。
a. 5太贝克 b.太贝克 c.太贝克 d. 150太贝克。
答案】d解析：因为，则，解得，所以，那么（太贝克），所以选d.
4(湖南8).设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为（ ）
a．1 b． c． d．
答案：d解析：由题，不妨令，则，令解得，因时，，当时，，所以当时，达到最小。即。
5 (江苏12).在平面直角坐标系中，已知点p是函数的图象上的动点，该图象在p处的切线交y轴于点m，过点p作的垂线交y轴于点n，设线段mn的中点的纵坐标为t，则t的最大值是。
答案： 解析：设则，过点p作的垂线。
所以，t在上单调增，在单调减，.
本题主要考查指数运算，指数函数图象、导数的概念，导数公式，导数的运算与几何意义、利用导数研究函数，导数的应用、直线方程及其斜率、直线的位置关系，运算求解能力，综合应用有关知识的能力，本题属难题。
6(江西6).观察下列各式：则，…，则的末两位数字为（ ）a.01 b.43 c.07 d.49
答案：b 解析：
7(山东理9). 函数的图象大致是。
山东理9).【答案】c
解析】因为，所以令，得，此时原函数是增函数；令，得，此时原函数是减函数，结合余弦函数图象，可得选c正确。
8．(山东10年)由曲线y=,y=围成的封闭图形面积为。
abcd)
9．(山东10). 已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时，则函数的图象在区间[0,6]上与轴的交点的个数为。
a）6 （b）7 （c）8 （d）9【答案】a
10(天津2)．函数的零点所在的一个区间是（ ）
11.(天津16)．设函数．对任意，恒成立，则实数的取值范围是 ．
解】．12 (天津21)．（本小题满分分）已知函数．
ⅰ）求函数的单调区间和极值；
ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称．证明当时，．
ⅲ）如果，且，证明．
解】（ⅰ令，则．
当变化时，的变化情况如下表：
所以在区间内是增函数，在区间内是减函数．
函数在处取得极大值．且．
ⅱ）因为函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以，于是．
记，则，当时，，从而，又，所以，于是函数在区间上是增函数．
因为，所以，当时，．因此．
ⅲ）(1) 若，由（ⅰ）及，得，与矛盾；
2) 若，由由（ⅰ）及，得，与矛盾；
根据(1)，(2)可得．不妨设．
由（ⅱ）可知，所以．
因为，所以，又，由（ⅰ）在区间内是增函数，所以 ，即．
13(江苏17).请你设计一个包装盒，如图所示，abcd是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点p，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，e、f在ab上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设ae=fb=xcm.
1）若广告商要求包装盒侧面积s（cm）最大，试问x应取何值？
2）若广告商要求包装盒容积v（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。
答案：（1）根据题意有（0所以x=15cm时包装盒侧面积s最大。
2）根据题意有，所以，
当时，所以，当x=20时，v取极大值也是最大值。
此时，包装盒的高与底面边长的比值为。
即x=20包装盒容积v（cm）最大， 此时包装盒的高与底面边长的比值为。
解析：本题主要考查空间想象能力、数学阅读能力及运用数学知识解决实际问题的能力、建立数学函数模型求解能力、导数在实际问题中的应用，中档题。
14 (安徽16)设，其中为正实数。
ⅰ）当时，求的极值点；
ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围。
本小题满分12分）本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力。
解：对求导得 ①
（i）当，若。
综合①,可知。
所以，是极小值点，是极大值点。
（ii）若为r上的单调函数，则在r上不变号，结合①与条件a>0，知。
在r上恒成立，因此由此并结合，知。
15(北京18).已知函数。
1)求的单调区间；
2)若对，，都有，求的取值范围。
解：(1)，令得。
当时，在和上递增，在上递减；
当时，在和上递减，在上递增。
2) 当时，；所以不可能对，都有；
当时有（1）知在上的最大值为，所以对，都有即，故对，都有时，的取值范围为。
16(辽宁21)．（本小题满分12分）
已知函数．（i）讨论的单调性；
ii）设，证明：当时，；
iii）若函数的图像与x轴交于a，b两点，线段ab中点的横坐标为x0，证明：（x0）＜0．
解：（i）（i）若单调增加。
（ii）若且当。
所以单调增加，在单调减少。 …4分。
ii）设函数则。
当。故当8分。
iii）由（i）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，故，从而的最大值为。
不妨设。由（ii）得从而。
由（i）知12分。
17(山东10年)已知函数。
ⅰ)当时，讨论的单调性；（ⅱ设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围。
解：（ⅰ因为。所以 令
1）当时， 所以
当，函数单调递减；
当时，，此时，函数单调递增。
（2）当时，由，即 ，解得
时，，此时，函数单调递减；时，，此时，函数单调递增；时，，此时，函数单调递减。
当时，由于时，，此时，函数单调递减；时，，此时，函数单调递增。
综上所述： 当时，函数在（0,1）上单调递减；
函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减；
当时，函数在（0,1）上单调递减；
函数在上单调递增；
函数在上单调递减，ⅱ）因为，由于（ⅰ）知，，当时，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以在
（0 , 2）上的最小值为。
由于“对任意，存在，使”等价于。
“在上的最小值不大于在（0 ，2）上的最小值”
18．(山东21) 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且。假设该容器的建造费用仅与其表面积有关。
已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为。设该容器的建造费用为千元。
ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；
ⅱ）求该容器的建造费用最小时的。
解析】（ⅰ因为容器的体积为立方米，所以，解得，所以圆柱的侧面积为=,两端两个半球的表面积之和为，所以+,又。
所以，ⅱ）因为+=,令，解得。
若则， ,则当时取最小值。
若则， ,在上是减函数，所以当是取最小值。
19(浙江22) 已知函数。
ⅰ）求的单调区间和极值；
ⅱ）求证： .
解：（ⅰ定义域为，……2分。
令，令。故的单调递增区间为，的单调递减区间为………4分。
的极大值为6分。
ⅱ）证：要证。
即证， 即证。
即证………8分。
令，由（ⅰ）可知在上递减，故。
即，令，故。
累加得11分。
故，得证………14分。
法二： =………11分，其余相同证法。
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