试题名称： 点集拓扑(a)
一、单项选择题（每题5分，共25分）
二、证明题（每题3分，共15分）
1.实数几何中的一个关系定义为。
证明：自反性4分。
对称性： 即3分。
传递性：设，
成立3分。2.证明从拓扑空间到平庸空间的任何映射都是连续的。
设是任一满足条件的映射，由于是平庸空间，它中的开集只有。
4分。易知它们在下的原象分别是，均为中的开集4分。
从而连续2分。
3. 设是集合的两个拓扑，证明是集合的拓扑。
证明：因为（1）是的拓扑，故t1， t２，从而3分）；
２）对任意的t1t２，则有t1且t２，由于t1, t2是的拓扑，故t1且t2，从而t1t3分）；
３）对任意的，则，由于t1, t2是的拓扑，从而ut’ut1, ut’ut2,故ut’u t1t4分）；
综上有t1t２也是的拓扑．
4.设是一个离散空间，是的任意子集，证明的导集是空集。
取 u=--4分， 则 u∩ a---3, 所以---3分。
5.证明s是的一个子基。
证明：这是因为s是实数空间的一个开机族（3分），并且s的每一个有限非空子族之交的全体构成的集族恰好就是所有开区间构成的族（5分）再并上（2分），显然它是实数空间的一个基。
6.设是拓扑空间的子空间， ,证明。
1)若分别为的拓扑， 则；
2)若 f, f*分别为的全体闭集族， 则 f*=f|y;
3) )若 b 是的基， 则 b|y 是的基。
证 ：1）根据子空间定义可知（5分）
(2) f*
（5分）3) 开于， 存在的开集， 使得， b1 b, 满足b1, 则(b1 |y). 5分）
7.证明实数空间满足第二可属性公理。
证明：令 b（5分）, 定理 2.6.2, b 是 r 的可数基。（5）分。
试题1答案
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