顺义区2013届高三第二次统练。
数学试卷(理工类)参***。
一、abba bcdc
二、9.36 10. 11.
三、15.解：(i)
4分。ii),得。
故的定义域为。
因为。所以的最小正周期为。
因为函数的单调递减区间为，由，得，所以的单调递减区间为。
13分。16.(i)证明：在长方体中，因为平面，所以。
因为，所以四边形为正方形，因此，又，所以平面。
又，且，所以四边形为平行四边形。
又在上，所以平面。
4分。ii)取的中点为，连接。
因为为的中点，所以且，因为为的中点，所以，而，且，所以，且，因此四边形为平行四边形，所以，而平面，所以平面。
9分。iii)如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，则，故。
由(i)可知平面，所以是平面的一个法向量。
设平面的一个法向量为，则，所以。
令，则，所以。
设与所成的角为，则。
因为二面角的大小为，所以，即，解得，即的长为114分。
17.解：(i)∵小矩形的面积等于频率，除外的频率和为0.70,3分。
500名志愿者中，年龄在岁的人数为(人).
ii)用分层抽样的方法，从中选取20名，则其中年龄“低于35岁”的人有12名，年龄不低于35岁”的人有8名6分。
故的可能取值为0,1,2,37分。
故的分布列为。
所以。13分。
18.解：.
i)因为是函数的一个极值点，所以，因此，解得。
经检验，当时，是的一个极值点，故所求的值为。
4分。ii)
令得……①i)当，即时，方程①两根为。
此时与的变化情况如下表：
所以当时，的单调递增区间为，;的单调递减区间为。
ii)当时，即时， ,即，此时在上单调递增。
所以当时，的单调递增区间为。
13分。19.解：(i)由已知得且，解得，又，所以椭圆的方程为。
3分。ii)设。
当直线与轴垂直时，由椭圆的对称性可知，点在轴上，且与点不重合，显然三点不共线，不符合题设条件。
故可设直线的方程为。
由消去整理得。
则，所以点的坐标为。
因为三点共线，所以，因为，所以，此时方程①为，则，所以。
又，所以，故当时，的最大值为。
13分。20.解：(i)函数的图像与坐标轴的交点为，又，.
函数的图像与直线的交点为，又，.
由题意可知， ,又，所以3分。
不等式可化为，即。
令，则，又时， ,故，在上是减函数，即在上是减函数，因此，在闭区间上，若存在使不等式成立，只需，所以实数的取值范围是8分。
ii)证明：和公共定义域为，由(i)可知，.
令，则，在上是增函数，故，即。①
令，则，当时，;当时， ,有最大值，因此。②
由①②得，即。
又由①得，由②得，故函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于2.
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