2007-2008年第一学期。
※※※高等数学（180学时）试题a卷※※※一．试解下列各题（每小题7分，共56分）
1．计算 解：
2．计算。解：
3．计算。解：
4．计算。解：令，即则。
5．计算。解：
6．设曲线方程为求此曲线在点处的切线方程。
解：，故。所以，， 又，时，所以，切点为，因此切线方程为：.
7．已知，求。
解：两边关于求导得：
所以 8．设求。解：
归纳可得。二．（15分）已知函数求。
1）函数的单调增加、单调减少区间，极大、极小值；
2）函数图形的凸性区间、拐点、渐进线。
解：；1.因为。
所以无水平渐进线；（具体地讲。
因为函数在处无定义，且，故有垂直渐进线；
因为。均存在，所以，有斜渐进线。
2．令；3．令可得下表：
0不存在0 +
0不存在。升拐点升间断降升。
三．（10分）设是上的连续函数，
1）证明在内可导。
2）证明在处右连续。
解：（1）任取点，其中
故 （积分中值定理）（介于与之间）②
所以（因为②）
因此在内可导，且。
2）记 （介于与之间）
则 ，故在处右连续。
四．（10分）
1）设平面图形由抛物线，直线及轴所围成，求平面图形绕轴旋转一周所形成的立体积。
2）在抛物线求一点，使得过此点所作切线与直线及轴所围图形面积最大。解：
2）任取抛物线上一点，则抛物线在点处切线方程为。
即 设由与直线及轴所围图形面积为。
令 ，得驻点。
或（舍）又因为，，所以当时，取到极大值，所求之点为。
五．（9分）当时，对在上应用拉格朗日中值定理，有。
对于函数。求。
证明：对在上应用拉格朗日中值定理，有，
所以。因此
令。洛必达）（洛必达）故。
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