６４中学数学月刊２０１年第１期。
０１２年新年趣题。
．在的数字之间适当嵌入“＋”或“一”，使其等于２ ０解。
山东龙口市龙港经济开发区中村学校张树胜提供）
其中等号当且仅当 ｖ／至ｚ＋２
．函数一。厶。
上上。的最小值为丽。
即当且仅当一０时成立．
综上可知，当且仅当ｚ一０时ｙ有最小值为。解一筹。
一册。江苏启东市汇龙中学倪红林提供）
．能否将２ ０分解成若干个正整数的平方和，并且每个整数的个位数字都是２７如果可以，至少需要几个数？
解首先，由于。
百。一２ ０一一…
册。干。
０１其中第一项 ０
共５０３个２ ）丁显然当且仅当ｚ一０时有最小值。
所以满足要求的分解存在．
现在假设２ ０一因为ａ ，为２ ０再看其余两项，由平均值不等式有：，…的个位数字都是２，所以ａ；，口；，…的。
按条件，等于ｓ一１０米．解方程５０一要＋孳一ｓ一１０，求。
出ｓ一８０米．
面ａｂ 内的两直线ｂ ｃ与ｑｆ，因此它垂直这个平。
面．这表示球心在直线上．
以ｋ表示点。在平面ａ ｂ内的投影．因为倾斜的ｏｃ 与ｏｄ 是球半径，即有相等长度，所以它们的投影即线段ｋｃ 与ｋｄ 也有相等长度．但这表示，点ｋ在平。
解设ｅ是球与直线ｄｂ 的切点．平面ａｂ 与球相交于一圆，直线ｄｂ 与ｄｃ 同这圆相切．因为从一点。
面ａ ｂ内经过线段ｃ ｄ中点ｎ的垂线上．直线。
这在前面已证明了．按三垂线定理可以断言，ｋｆ在平面ａ ｂ内的投影）上直线ｂ ｃ考虑到直线ｐｆ上ｂ ｃ可断言，点ｋ在直线ｐｆ上．这样，ｋ是直线ｐｆ与ｃ ｄ过点ｎ的垂线的交点．
到圆所引的切线长度相等，我们有在平。
面ａｂ 内过点ｅ作直线垂直于ｄｂ 它与直线ｂ１ｃ的交点用字母ｆ表示．因为ｆ是垂线与从切点所作切线的交点，所以ｆ是上述圆的圆心，而球心０是在从点ｆ作出的平面ａｂ 的垂线上．
为以下方便，作出平面ｐｆｒ并在各个图上作出一切的点与直线．按上述证明，球心０在直线ｌｍ与ｐｆ过点ｋ的垂线的交点上，并且ｋ是线段ｐｆ的中点．考虑到。
ｔ△ｅ与ｒｔ△有一公共锐角，因之相似．
这表示蕞一等一辱．
考虑到ｅｂ 一ｄｂ 一、／，一２，求出。
ｃ１一ｅｆ＝
ｆｒｑ是正方形，断言ｏｋ—一÷．用勾股定理于。
ｔ△ｏ求出。
｝一ｏｋ 一。
一。过点ｆ作一平面垂直于棱ｂ ｃ它与棱的交点分别记为ｐ，ｑ在平面ｐｆｒ内过点ｆ作直。
线ｑｆ的垂线，这垂线与直线ｑｐ和ｑｒ的交点分别以字母ｌ和ｍ表示．我们来证明，直线ｌｍ上平面ａｂ 因此球心０在ｌｍ上面．直线ｂ ｃ平面氓ｑ，因此ｂ ｃ
一。与ｏｃ 一。
ｚ一２，ｙ一２．
ｚ＜一６，一。
ｒｌｍ按作图也有ｌｍ上ｑｆ．这样直线也垂直于平。
米．１２半。
０１２年第１期中学数学月刊。
个位数字都是４，从而的个位数。
字应当是４ 的个位数字，由于２ ０的个位数字。
为２，所以４咒的个位数应该是２．于是的可能取。
值只能是或所以的最小值只能从这两个数列中去找．
先证一３不成立．假如２ ０一则口从而得出。
５≤ａ因为ａ。的个位数是２，所以ａ。只能取３２或４２．
若ａ。一３２，则ａ ＋一２０１一ａ；一２０１一９８８此时无论ｎ 一２，１口２均无解．
若ａ。一４２，则ａ ＋口；一２０１一ａ；一２０１一２４８此时无论均无解，所以ｎ
但是当咒一８时，有。
２ ，所以至少需要８个数．
江苏句容市第三中学王丰祝提供）
．试求。０１被２ ０除所得的余数．
解因 ！一［（＋一１］！一（＋
）！一 ！，所以。
１１＋十。一。
一６１１又因为所以６１１能被２ ｏ整除．现在把６１１改写成６１１
２ ０可见被２ ０除所得余数为２ ０
启东倪红林提供）
以下四题都是贵阳市贵州水泥厂李希伯提。
供．．试比较与的。
大小．解（１＋
一。共２ ０个。
一（１＋．试证不定方程。
。＋ 砌。一“ 。
有正整数解．解利用公式。一 ｒ
有一１０。两端各乘以１０ 一（１０便得。
０。 一１０
可见原方程有一组正整数解：
一。０。，一２１０一３１０一４
０。。一１０．
．试证不等式。
、夕。解利用当０＜ 号时有ｓｉｎ故。
得ｓｉｎ并进而得ｃｏｓ一 ．取ｚ一。
ｎ≥２则得。
一。一。
从而丢…ｃｏ
一—…．呈：呈一。一。
所以原不等式成立．
若实数 ，满足＋一２ ｏ求ｊｚ十 ！…解。
由点（ｚ，在椭圆。
｝十。一１上运动，设。一一。则。
砸。一。砸。
丽ｓｉｎ一。
所以ｌｚ＋一２ ０
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