如皋中学最后一卷

江苏省如皋中学2011届高三考前最后一卷（数学）

1．(填空题压轴题：考查函数的性质，字母运算等) 设函数的定义域为d，如果存在正实数，使对任意，都有，且恒成立，则称函数为d上的“型增函数”．已知是定义在r上的奇函数，且当时，，若为r上的“型增函数”，则实数的取值范围是。

1.（备用）已知函数f(x)=，无论t取何值，函数f(x)在区间(-∞总是不单调．则a的取值范围是答案：

2.(三角与向量：考查两角和与差的三角公式，解三角形，三角与向量数量积)

设的三个内角所对的边分别为，且满。

ⅰ）求角的大小若，试求的最小值。

答案： 3. (立体几何：考查垂直与平行的判断)如图，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，，．

ⅰ）设是上的一点，证明：平面平面；

ⅱ）当点位于线段什么位置时，平面？

证明：（ⅰ在中，，∴

．又 ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面．

又平面， ∴平面平面．

ⅱ）当点位于线段pc靠近c点的三等分点处时，平面．

证明如下：连接ac，交于点n，连接mn．，所以四边形是梯形．，∴

又 ∵，mn．

平面，∴平面。

4.(解几：考查椭圆的有关几何性质，直线与圆的位置关系，曲线的轨迹，存在性问题与定值问题等)已知椭圆和圆：，过椭圆上一点引圆的两条切线，切点分别为．

1）（ⅰ若圆过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率的值；

（ⅱ）若椭圆上存在点，使得，求椭圆离心率的取值范围；

2）设直线与轴、轴分别交于点，，问当点p在椭圆上运动时，是否为定值？请证明你的结论．

解：（1）（ⅰ圆过椭圆的焦点，圆：，∴

ⅱ）由及圆的性质，可得，∴∴

2）设0，则。

整理得。方程为：，方程为：．

从而直线ab的方程为：．令，得，令，得，∴，为定值，定值是。

5.(解几备选)已知椭圆的左、右焦点分别是，q是椭圆外的动点，满足点p是线段f1q与该椭圆的交点，点t**段f2q上，并且满足．

ⅰ）设为点p的横坐标，证明；（求点t的轨迹c的方程；

ⅲ）试问：在点t的轨迹c上，是否存在点m，使△f1mf2的面积s=若存在，求∠f1mf2的正切值；若不存在，请说明理由．

解（ⅰ设点p的坐标为（x,y）,由p（x,y）在椭圆上，得。

又由知，所以。

（ⅱ）当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上．

当且时，由，得．

又，所以t为线段f2q的中点．

在△qf1f2中，，所以有。

综上所述，点t的轨迹c的方程是

ⅲ） c上存在点m（）使s=的充要条件是。

由③得，由④得所以，当时，存在点m，使s=；当时，不存在满足条件的点m．

当时，由，得。

6.(应用题)已知某种稀有矿石的价值（单位：元）与其重量（单位：克）的平方成正比，且克该种矿石的价值为元。

写出（单位：元）关于（单位：克）的函数关系式；

若把一块该种矿石切割成重量比为的两块矿石，求价值损失的百分率；

把一块该种矿石切割成两块矿石时，切割的重量比为多少时，价值损失的百分率最大。

注：价值损失的百分率；在切割过程中的重量损耗忽略不计）

解⑴依题意设，又当时，，∴故**：z&xx&

设这块矿石的重量为克，由⑴可知，按重量比为切割后的价值。

为，价值损失为，价值损失的百分率为。

解法1：若把一块该种矿石按重量比为切割成两块，价值损失的百分率应为。

又，当且仅当时取等号，即重量比为时，价值损失的百分率达到最大。

解法2：设一块该种矿石切割成两块，其重量比为，则价值损失的百分率为。

又，∴，故，等号当且仅当时成立。

答：⑴函数关系式； ⑵价值损失的百分率为；

故当重量比为时，价值损失的百分率达到最大。

6.(应用题备用) 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)＝＋2a＋，x∈，其中a是与气象有关的参数，且a∈]，若取每天f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作m(a)．

1) 令t＝，x∈，求t的取值范围；

2) 省**规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问：目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？

1) 当x＝0时，t＝0；(2分)

当0＜x≤24时，＝x＋.对于函数y＝x＋，∵y′＝1－，当0＜x＜1时，y′＜0，函数y＝x＋单调递增，当1＜x≤24时，y′＞0，函数y＝x＋单调递增，y∈.

综上，t的取值范围是]．(5分)

2) 当a∈]时，f(x)＝g(t)＝|t－a|＋2a＋＝(8分)

g(0)＝3a＋，g＝a＋，g(0)－g＝2a－.

故m(a)＝

(10分)当且仅当a≤时，m(a)≤2，(12分)

故a∈]时不超标，a∈]时超标．(14分)

7.(数列压轴题)已知无穷数列中，a1，a2，…，am是首项为10，公差为－2的等差数列；am＋1，am＋2，…，a2m是首项为，公比为的等比数列（其中 m≥3，m∈n*），并对任意的n∈n*，均有an＋2m＝an成立．

1）当m＝12时，求a2010；

2）若a52＝，试求m的值；

3）判断是否存在m（m≥3，m∈n*），使得s128m＋3≥2010成立？若存在，试求出m的值；若不存在，请说明理由．

解（1）m＝12时，数列的周期为24．

2010＝24×83＋18，而a18是等比数列中的项，a2010＝a18＝a12＋6＝．

2）设am＋k是第一个周期中等比数列中的第k项，则am＋k＝．，等比数列中至少有7项，即m≥7，则一个周期中至少有14项．

a52最多是第三个周期中的项．

若a52是第一个周期中的项，则a52＝am＋7＝．

m＝52－7＝45；

若a52是第二个周期中的项，则a52＝a3m＋7＝．∴3m＝45，m＝15；

若a52是第三个周期中的项，则a52＝a5m＋7＝．∴5m＝45，m＝9；

综上，m＝45，或15，或9．

3）2m是此数列的周期，s128m＋3表示64个周期及等差数列的前3项之和．

s2m最大时，s128m＋3最大．

s2m＝当m＝6时，s2m＝31－＝；

当m≤5时，s2m＜；

当m≤7时，s2m＜＝29＜．

当m＝6时，s2m取得最大值，则s128m＋3取得最大值为64×＋24＝2007．

由此可知，不存在m（m≥3，m∈n*），使得s128m＋3≥2010成立．

8.(数列压轴题备选)已知数列的通项公式是，数列是等差数列，令集合，，．将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为．

1）若，，求数列的通项公式；（2）若，数列的前5项成等比数列，且，，求满足。

的正整数的个数．

答案： (1)或或。

2)分类讨论：数列。

若；只有满足，数列为1, ,满足的的值为1,2,3,4,6共5个。

9.(函数压轴题：)已知函数，1）若，且关于的方程有两个不同的正数解，求实数的取值范围；

2）记函数，若的最值与无关，求的取值范围．

解：(1)令，，因为，所以，所以关于的方程有两个不同的正数解等价于关于的方程有相异的且均大于1的两根，即关于的方程有相异的且均大于1的两根，[**：学科网zxxk]

所以，解得，故实数的取值范围为区间。

当时，a)时，，，所以，

b)时，，所以[**：学科网]

ⅰ当即时，对，，所以在上递增，所以，综合a) b)有最小值为与a有关，不符合。

ⅱ当即时，由得，且当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以，综合a) b)有最小值为与a无关，符合要求．

当时，a)时，，，所以。

b)时，所以，在上递减，所以，综合a) b)有最大值为与a有关，不符合。

综上所述，实数a的取值范围是．

附加题22,23

10. 22(空间向量)

11.已知斜三棱柱，，在底面上的射影恰为的中点，又知。

i）求证：平面；（ii）求求二面角余弦值的大小。

解】（i）如图，取的中点，则，因为，所以，又平面，以为轴建立空间坐标系，则，，，**：学。科。网，由，知，又，从而平面；

（ii）由，得。

设平面的法向量为，，，所以。

设，则。所以点到平面的距离。

（iii）再设平面的法向量为，所以。

设，则，故，根据法向量的方向，[**：学科网zxxk]

可知二面角的余弦值大小为。

11.（考查：排列组合，数学归纳法，概率等）用四个不同字母组成一个含个字母的字符串，要求由开始，相邻两个字母不同。

例如时，排出的字符串是；时排出的字符串是，……如图所示。记这含个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是的字符串的种数为。

1）试用数学归纳法证明：；

2）现从四个字母组成的含个字母的所有字符串中随机抽取一个字符串，字符串最后一个的字母恰好是的概率为，求证：.

解（1）：证明：

ⅰ）当时，因为，，所以等式正确。

ⅱ）假设时，等式正确，即，[**。

那么，时，因为。

这说明时等式仍正确。

据（ⅰ）可知，正确。

2）易知，当为奇数（）时，，因为，所以，又，所以；

当为偶数（）时，，因为，所以，又，所以。综上所述，.

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