一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．
1、设x→是集合m到集合n的映射，若n＝，则m不可能是。
a. b. c. d.
2、设a,b是单位向量，则“a·b =1”是“a=b”的。
a.充分不必要条件 b.必要不充分条件
c.充要条件d.既不充分又不必要条件。
3、若，且，则的值为。
a．1或 b．1 cd．
4、若x，y满足且z＝ax＋2y仅在点(1，0)处取得最小值，则a的取值范围是。
a.(－1，2) b.(－2，4) c.(－4，0] d.(－4，2)
5、,则的值为。
ab．0c． 2d．
6、如图，矩形内的阴影部分是由曲线及直线与轴围成，向矩形内随机投掷一点，若此点落在阴影部分的概率为，则的值是。
a. b. c. d.
7、已知函数的图象如图所示，，则的值一定。
a．等于0b．不小于0 c．小于0 d．不大于0
8、已知函数，给出下列命题：
1)必是偶函数；
2) 当时，的图象关于直线对称；
3) 若，则在区间上是增函数；
4)有最大值。
其中正确的命题序号是（ ）
a. (3) b. (2)(3) c.(3)(4d. (1)(2)(3)
二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分．
一）必做题（9～13题）
9、设a，br，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a+b
10、设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有的值为。
11、已知一个三棱柱的底面是正三角形、侧棱垂直于底面，其正视图如图所示，则这个三棱柱的体积为。
12、若将逐项展开得，则出现的概率为，出现的概率为，如果将逐项展开，那么出现的概率为___
13、 已知△fab，点f的坐标为（1,0），点a，b分别在图中抛物线y2＝4x及圆(x-1)2＋y2＝4的实线部分上运动，且ab总是平行于x轴，，则△fab的周长的取值范围是。
二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题）
14、在极坐标系中，过点引圆的两条切线，切点分别为，则线段的长为。
15、如图所示，是圆的两条切线，是切点，是圆上两点， 如果，，则的度数是。
三、解答题。
16、在△abc中，a、b、c分别为三内角a、b、c所对边的边长，且若是，（＞1）
若时，证明为。
若，且，求的值。
17、在2024年北京奥运会某项目的选拔比赛中，、两个代表队进行对抗赛， 每队三名队员，队队员是队队员是按以往多次比赛的统计， 对阵队员之间胜负概率如下表， 现按表中对阵方式出场进行三场比赛， 每场胜队得1分， 负队得0分， 设a队、b队最后所得总分分别为、, 且。
求a队得分为1分的概率；
求的分布列；并用统计学的知识说明哪个队实力较强。
18、在正三角形abc中，e、f、p分别是ab、ac、bc边上的点，满足ae:eb＝cf:fa＝cp:
pb＝1:2（如图1）.将△aef沿ef折起到的位置，使二面角a1－ef－b成直二面角，连结a1b、a1p（如图2）
求证：a1e⊥平面bep；
求直线a1e与平面a1bp所成角的大小；
⑶ 求二面角b－a1p－f的余弦值。
19、已知中心在原点o，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点（，）
求椭圆的方程；
设不过原点o的直线与该椭圆交于p，q两点，且直线op，pq，oq的斜率依次成等比数列，求△opq面积的取值范围．
20、已知数列满足。
求证：数列是等比数列；
设，求数列的前n项和sn
设，数列的前n项和为tn。求证：.
21、 设定义在r上的函数（其中∈r，i=0,1,2,3,4），当时，f (x)取得极大值，并且函数y=f (x+1)的图象关于点（－1，0）对称．
求f (x)的表达式；
试在函数f (x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上；
若，求证：
2014理科数学模拟卷(四) 答题卷。
一。 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
三、解答题（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
一、选择题：
1-8： c c a b ；a b d a
二、填空题，3；11、；12、； 13、（4，6） 14、 15、
三、解答题。
16、在△abc中，a、b、c分别为三内角a、b、c所对边的边长，且若是，（其中＞1）
1）若时，证明为。
2）若，且，求的值。
解： 由正弧定理得
则则或或。若则为若亦为。
2） 则又。
由余弧定理知即即。
故即。17、在2024年北京奥运会某项目的选拔比赛中，、两个代表队进行对抗赛， 每队三名队员，队队员是队队员是按以往多次比赛的统计， 对阵队员之间胜负概率如下表， 现按表中对阵方式出场进行三场比赛， 每场胜队得1分， 负队得0分， 设a队、b队最后所得总分分别为、, 且。
ⅰ）求a队得分为1分的概率；
ⅱ）求的分布列；并用统计学的知识说明哪个队实力较强。
解：（ⅰ设a队得分为1分的事件为，
ⅱ）的可能取值为3 , 2 , 1 , 0 ;
的分布列为。
于是， 由于， 故b队比a队实力较强。
18、 在正三角形abc中，e、f、p分别是ab、ac、bc边上的点，满足ae:eb＝cf:fa＝cp:
pb＝1:2（如图1）.将△aef沿ef折起到的位置，使二面角a1－ef－b成直二面角，连结a1b、a1p（如图2）
ⅰ）求证：a1e⊥平面bep；
ⅱ）求直线a1e与平面a1bp所成角的大小；
）求二面角b－a1p－f的余弦值。
解：不妨设正三角形abc 的边长为 3 .
(i)在图1中，取be的中点d，连结df．
aeeb=cffa=12，∴af=ad=2，而∠a=600,∴△adf是正三角形，又ae=de=1，∴ef⊥ad．
在图2中，a1e⊥ef，be⊥ef，∴∠a1eb为二面角a1-ef-b的平面角．
由题设条件知此二面角为直二面角，∴a1e⊥be．
又be∩ef=e，∴a1e⊥平面bef，即a1e⊥平面bep．
(ii)建立分别以ed、ef、ea为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，则e(0,0,0),a(0,0,1),b(2,0,0),f(0, ,0), p (1, ,0),则，．
设平面abp的法向量为，
由平面abp知，，即。
令，得，．所以直线a1e与平面a1bp所成的角为600．
ii)，设平面afp的法向量为．
由平面afp知，，即。
令，得，．所以二面角b-a1p-f的余弦值是．.
19、已知中心在原点o，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点（，）
ⅰ）求椭圆的方程；
ⅱ）设不过原点o的直线与该椭圆交于p，q两点，且直线op，pq，oq的斜率依次成等比数列，求△opq面积的取值范围．
解：（ⅰ由题意可设椭圆方程为 （a＞b＞0），则故 ，所以，椭圆方程为 ．
ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为 y＝kx＋m（m≠0），p（x1，y1），q（x2，y2），由消去y得（1＋4k2）x2＋8kmx＋4（m2－1）＝0，则△＝64 k2b2－16（1＋4k2b2）（b2－1）＝16（4k2－m2＋1）＞0，且，．
故 y1 y2＝（kx1＋m）（kx2＋m）＝k2x1x2＋km（x1＋x2）＋m2．
因为直线op，pq，oq的斜率依次成等比数列，所以，＝＝k2，即＋m2＝0，又m≠0，所以 k2＝，即 k＝．
由于直线op，oq的斜率存在，且△＞0，得0＜m2＜2 且 m2≠1．
设d为点o到直线l的距离，则 s△opq＝d | pq |＝x1－x2 | m |＝所以 s△opq的取值范围为 （0，1）．
20、已知数列满足。
求证：数列是等比数列；
设，求数列的前n项和sn
设，数列的前n项和为tn。求证：.
i）证明：数列的前n项和。
时，数列的前n项和=
因为当时， <0,.
21. 设定义在r上的函数（其中∈r，i=0,1,2,3,4）， 当x= －1时，f (x)取得极大值，并且函数y=f (x+1)的图象关于点（－1，0）对称．
1）求f (x)的表达式；
2）试在函数f (x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上；
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