自主招生测试卷。
姓名班级考号。
一、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）
1、六个正方形（如图）重叠，连接点正好是正方形的中点，正方形边长是a，则图的周长是。
2、函数的值域为。
3、如图，正方形的边长为3，为的中点，与相交于，则的值是
4、设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半径为的一个实心球，此时球与容器壁及水面恰好都相切，则取出球后水面高为是。
14a5、从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中，任取一个五位数，满足条件“”的概率是。
一、填空题（本大题共5个小题，共75分）
6、（本小题满分10分）
设函数，i）求函数在上的最大值与最小值；
ii）若实数使得对任意恒成立，求的值．
7、（本小题满分10分）
设不等式组确定的平面区域为u，确定的平面区域为v．
（ⅰ）定义坐标为整数的点为“整点”．在区域u内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域v的概率；
（ⅱ）在区域u内任取3个点，记此3个点在区域v的个数为x，求x的概率分布列及其数学期望．
8、（本小题满分15分）
图1是长方体截去一个角后得到的几何体，其中底面是正方形，为中点，图2是该几何体的侧视图。
ⅰ）判断两直线与的位置关系，并给予证明；
ⅱ）求直线与平面所成角的大小；
ⅲ）是否存在点，使得，且二面角的大小为？若存在，求不存在，请说明理由。
9、（本小题满分15分）
10、（本小题满分15分）
设函数在上的最大值为（）．
i）求数列的通项公式；
ii）求证：对任何正整数，都有成立；
iii）设数列的前项和为，求证：对任意正整数，都有成立．
自主招生测试卷答案解析。
一 、解答题。
6、解：（i）由条件知2分）
由知，，于是。
所以时，有最小值；
当时，有最大值5分）
ii）由条件可知。
对任意的恒成立，8分）
由知或。若时，则由知，这与矛盾！
若，则（舍去），解得，所以10分）
7、解：（ⅰ由题意，区域ｕ内共有个整点，区域ｖ内共有个整点，设所取3个整点中恰有2个整点在区域ｖ的概率为，则．……4分。
（ⅱ）区域u的面积为8，区域v的面积为4，∴在区域u内任取一点，该点在区域v内的概率为．……5分。
x的取值为0，1，2，3． ，9分。
∴ｘ的分布列为。10分。
10、解：（i），当时，由知或者4分）
当时，，又，，故；
当时，，又，，故；
当时，时，；时，；
在处取得最大值，即。
综上所述8分）
ii）当时，欲证，只需证明。
所以，当时，都有成立11分）
iii）当时，结论显然成立；
当时，由（ii）知。
所以，对任意正整数，都有成立15分）
2024年永春一中自主招生数学试卷 一
7 一个定滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm，当重物上升10cm时，滑轮的一条半径oa绕轴心o按逆时针方向旋转的角度约为 假设绳索与滑轮之间没有滑动，结果精确到1 a.115 b.60 c.57 d.29 考点 弧长的计算 分析 设oa旋转的角度为n，由于重物上升10 cm，则点a逆时针旋转...
繁昌一中2024年高一自主招生试卷语文试卷
语文试卷。一 语文积累与综合运用 30分 1 默写古诗文中的名句名篇。10分 1 补写出下列名句中的上句或下句。任选其中6句 了却君王天下事破阵子 奉命于危难之间。出师表 夜泊秦淮近酒家。泊秦淮 黑云压城城欲摧雁门太守行 不畏浮云遮望眼登飞来峰 自将磨洗认前朝。赤壁 窈窕淑女关雎 剪不断，理还乱相见...
繁昌一中2024年高一自主招生试卷物理试卷
物理试卷。注意事项 1 本卷共四大题25小题，满分100分。考试时间100分钟。2 本卷试题中g值均取10n kg。一 填空题 每空2分，共30分 1.用两个相同的 热得快 分别给质量和初温都相同的甲 乙两种液体同时加热，两液体的温度随时间变化的图像如图所示，如果要你从甲 乙两种液体中选择汽车的冷却...