一、 选择题（每小题3分，共15分）
1）设，且可导，则为。
ab、cd、
分析： ，应选d。
2）从到一平面引垂线，垂足为点，则此平面方程为（ ）ab、cd、
分析：向量是此平面的法向量，由点法式方程，此平面方程为，应选b。
3）微分方程的通解为。
ab、cd、
分析：，应选d。
4）设平面曲线为下半圆周，则曲线积分等于（ ）ab、 c、 d、
分析：曲线参数方程为，应选a。
5）累次积分。
a、 b、 cd、
分析：作直线。
和曲线，它们所围成的区域为积分区域。
原式，应选a。
二、 填空题（每小题3分，共15分）
1）已知单位向量适合等式，则。
分析：因为，所以，又因为是单位向量，因此。
2）设，则。
分析： 3）曲面在点处的切平面方程是。
分析：设，
所求切平面方程为：
4）微分方程的特解形式为。
分析：解特征方程得，是单特征根，所以微分方程由特解形式。
5）设是球面的外侧，则曲面积分的值为。
分析：因为，所以。
再利用高斯公式得。
三、 a（非化工类做本题，化工类不做本题）（本题7分）求幂级数的收敛域及其收敛域上的和函数。
解：，此幂级数收敛半径为。
当时，发散；当时，收敛。
此幂级数的收敛域为。
设， b（化工类做本题，非化工类不做本题）（本题7分）一条直线在平面上，且与另两条直线及（即）都相交，求该直线方程。
解：设所求直线与已知直线的交点分别为。
而这两点一定在已知平面上，所以，所求直线方程为：
四、 a（非化工类做本题，化工类不做本题）（本题7分）求函数在处的幂级数展开式。
解： 其中，上式两边积分得。
其中，其中，b（化工类做本题，非化工类不做本题）（本题7分）求函数在点处的梯度及沿梯度方向上的方向导数。
解：，所求梯度为。
五、 应用题（本题8分）
做一个容积为1立方米的有盖圆柱形桶，问尺寸应如何，才能用料最省？
解：设圆柱形桶高为米，底面半径为米，则有。
再设表面积为平方米，此题即求表面积的最小值。
当底面半径为时用料最省。
六、 计算题（本题8分）
设积分域为所围成，试计算二重积分。
解： 七、 计算题（本题8分）
计算三重积分，式中为由所确定的圆台体。
解：方法。一、用截面法：
方法。二、用球面坐标：
八、 a（非化工类做本题，化工类不做本题）（本题8分）将函数展成傅立叶级数，并指明展开式成立的范围。
解： 其中或。
b（化工类做本题，非化工类不做本题）（本题8分）设在上有连续的一阶导数，求曲线积分。
为从点到点的直线段。
解：设。此积分与路径无关。
九、 计算题（本题8分）
计算曲面积分，其中为上半球面。
解： 注：这里利用了对称性。
一十、 计算题（本题8分）
求微分方程的解。
解：此为一阶线性微分方程。
方法。一、利用公式（略）
方法。二、常数变异法。先求的通解，变量分离两边积分得。
令，把代入原方程得。
原方程的通解为：，由初值条件得的解为。
一十一、 证明题（本题4分）
试证明在不连续，但存在一阶偏导数。
解：当时，，极限与有关，所以在不连续，一十二、 计算题（本题4分）设二阶常系数线性微分方程的一个特解为，试确定常数，并求该微分方程的通解。
解：把代入得。
解方程组得。
解对应特征方程得。
该微分方程的通解。
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