下面想谈一谈我们认为不好的高考题。
这些题目反映出来的问题，仍和前两年基本相同。令人担忧的是，其状况改进不大，甚至个别问题更加严重了。最主要的问题是，（1）个别题目超出课程标准和考试大纲，其导向很不好，会大大加重学生高中学习的负担，却起不到培养学生能力的作用；（2）个别题目生编硬造，根本不是数学问题。
做题变成了空洞的解题训练。正如著名数学家柯朗所说，这‘虽然可以提高形式推演的能力，却完全无助于对数学的理解’；（3）个别题目偏难，超出了对高中生能力的要求。也很难达到选拔考生的目的。
下面我们分别讨论一下：
个别题目超出课程标准和考试大纲，其导向很不好，会大大加重学生高中学习的负担，却起不到培养学生能力的作用；
由于这些题目的内容超出了高中数学课程标准和考试大纲。它们的出现，会使得高中教师认为必须在高中教学中补充这些内容，才能有好的成绩。从而大大加重了学生的负担。
而且使我们在选拔学生时，不是看他中学数学知识掌握的如何，其能力怎样。而是看他对这些补充的内容是否了解。造成了不公平。
另外，这些内容通常是大学生才要求掌握的。完全没有必要在中学讲授。甚至，个别内容在整个数学中地位并不重要。不应该给学生讲。
在这部分题目中，我们特别想说说数列的递推公式问题。
广东（理）19.(本小题满分14分)
设数列的前项和为，满足，且成等差数列。
（1）求的值；（2）求数列的通项公式。
3）证明：对一切正整数，有。
解析】（1） 相减得：
成等差数列。
（2）得对均成立。
得：（3）当时，当时，由上式得：对一切正整数，有（lfxlby）
我们一再提出，在高中课程标准中，数列的差分方程（递推公式）只在系列4的《数列与差分》**现，而且只要求线性差分方程。（即使这部分内容也没有被纳入高考内容。）对非线性的递推公式更不应该要求。
这是因为，这部分内容属于现代离散拓扑动力系统。它们关注的是，诸如初始值的微小扰动对系统的影响、递推公式中参数的变化对系统的影响等等，即人们目前常提到的混沌现象、分形几何等。而不是像我们目前中学那样，对一些极特殊的方程，用一些极特殊的技巧来求通项公式。
在数学上，这样做的意义及其有限。无论从方法上，还是从内容上，都不值得重视。
用这种题作为难题来选拔学生更不应该。因为这考查的主要是，形式演算的技巧与能力，无助于学生对数列（函数）性质的理解。
前两年这类数列递推公式的考题几乎不再出现，是一件很好的事。但最近这类题又卷土重来。值得警惕。希望出题者能慎重。当然，如有不同意见也希望能展开讨论。
类似的题还有。
2024年全国新课标理16)数列满足an+1 +(1)n an = 2n1，则的前60项和为。
这道题即使不去求通项公式，靠观察、归纳、猜测，也是难了。
安徽 （理）（21） （本小题满分13分）
数列满足：（i）证明：数列是单调递减数列的充分必要条件是。
（ii）求的取值范围，使数列是单调递增数列。
解析】（i）必要条件。
当时，数列是单调递减数列。
充分条件。数列是单调递减数列。
得：数列是单调递减数列的充分必要条件是。
（ii）由（i）得：
①当时，，不合题意。
②当时，当时，与同号，由。
当时，存在，使与异号。
与数列是单调递减数列矛盾。
得：当时，数列是单调递增数列（lbylfx）
安徽这道题，从数学上来说，是一道好题。它不是靠技巧去求递推公式，而是研究这个数列的变化趋势。但是，由于要讨论极限，超出了高中数学的要求。
高考的题目，应立足于高中数学内容，来考核学生的能力，不应该用大学的内容来选拔学生。
另外，理科全国卷的大纲版（非课标版）的22题，也是数列的递推公式。
除了递推公式外，超出课程标准和考试大纲的题目还有。
福建（理）10 函数在上有定义，若对任意，有，则称在上具有性质。设在[1,3]上具有性质，现给出如下命题：
在上的图像时连续不断的；
在上具有性质；
若在处取得最大值1，则，；
对任意，有。
其中真命题的序号是（ ）
a．①②b．①③cd．③④
考点：演绎推理和函数。
难度：难。分析：本题考查的知识点为函数定义的理解，说明一个结论错误只需举出反例即可，说明一个结论正确要证明对所有的情况都成立。断的。
解答：a中，反例：如图所示的函数的是满足性质的，但不是连续不。
b中，反例：在上具有性质，在上不具有性质。
c中，在上，所以，对于任意。
d中， 这道题讨论的是，高中数学不要求的函数凹凸性。而且全是形式的讨论。
下面的这两道题都用到了二阶导数。
辽宁（理）12. 若，则下列不等式恒成立的是。
a． b．
c． d．命题意图】本题主要考查不等式恒成立问题，是难题。
解析】验证a，当，故排除a；验证b，当，
而，故排除b；
验证c，令，显然恒成立。
所以当，，所以，为增函数，所以。
恒成立，故选c；验证d，令。
令，解得，所以当时，，显然不恒成立，故选c.
(2024年福建理20) (本小题满分14分)
已知函数f(x) =ex+ax2ex，ar．
ⅰ)若曲线y= f(x)在点(1, f(1))处的切线平行于x轴，求函数f(x)的单调区间；
ⅱ)试确定a的取值范围，使得曲线y= f(x)上存在唯一的点p，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点p．
解：(ⅰf(x) =ex+ax2ex， f (x) =ex+2axe，由题设得：f (1) =e+2ae=0 ，得a=0．
f(x) =ex ex， f (x) =exe，当x=1时，f (x) =0
故函数f(x)的单调递增区间为(1,+)单调递减区间为(,1) ．
ⅱ)设p(x0, f(x0)) 则过切点p的切线方程为y= f (x0)(x x0)+ f(x0) ．
曲线在p点处的切线与曲线只有一个公共点p，即为f (x0)(x x0)+ f(x0) =f(x) 只有一个根x0 ．
令g(x)= f(x) f (x0)(x x0)+ f(x0)
由 1)当a0时，x> x0，g (x0)>0，g(x)是增函数；x< x0，g (x0)<0，g(x)是减函数，g(x)的最小值是g (x0)=0.
由x0的任意性，a0不符合条件．
2)当a<0时，令。
x= ln(2a) ，h (x)=0．
x> ln(2a)，h (x)>0，h(x)是增函数；x< ln(2a)，h (x)<0，h(x)是减函数，h(x)的最小值是h (ln(2a)).
若有ln(2a)= x0，这时h(x)的最小值是h (x0)=0，即h(x)0．
也就是g (x)0.
g (x)在xr上单调递增，即g (x)=0只有一个根x0．
所以当a<0时，存在唯一的点使该点处的切线与曲线只有一个公共点p．
这种题目的出现必然使中学在教学中增加二阶导数。每一个增加的内容好像都不难，不多，但累加起来，势必增加学生负担。也不符合高中数学课程对学生培养的目标。
全国（理）（12）设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ）
解析】选。函数与函数互为反函数，图象关于对称。
函数上的点到直线的距离为。
设函数。由图象关于对称得：最小值为。
这道题讨论的反函数。许多中学教师认为是超标了。也有人认为不算超标，打的是‘擦边球’。
介乎超标和不超标之间。严格说，它讨论的是，对数函数和线性函数的复合函数，超出了课程标准的要求。
不管大家的看法是否一致，打‘擦边球’的做法就很不可取。为什么我们不用高中数学的基本内容来考查学生，一定要采用‘擦边球’的做法呢？这种做法的后果，就是使得教师认为，如果给学生补充反函数的知识，他们的考分就能提高。
不是让学生关注高中数学最基本的内容，注重提高学生的能力，而是靠增加内容来取胜。这种做法极不可取。
(2024年江苏理14)已知正数a，b，c满足：5c3a b 4ca， clnba+lnc，则的取值范围是 [e,7] ．
分析：条件5c3a b 4ca， clnba+lnc可化为：
设则题目转化为：
已知满足求的取值范围．
作出(x,y)所在平面区域(如图)．
求出过原点y=ex的切线，设切点为p(x0,y0)，则斜率。
切线为过原点，
则x0=1，切线方程为y=ex．这时是最小值．
由是最大值．
所以的取值范围为[e,7]，即的取值范围是[e,7]．
答案： 这种问题，其实质是，在非线性约束下，求非线性二元函数的极值。虽然可以借助图形来处理，但超出了课程标准和考试大纲。
个别题目生编硬造，根本不是数学问题。做题变成了空洞的解题训练。正如著名数学家柯朗所说，这‘虽然可以提高形式推演的能力，却完全无助于对数学的理解’。
编造题目问题最多的是概率题。
福建（文）（本小题满分12分）
在等差数列和等比数列中，，的前10项和。
ⅰ）求和；ⅱ）现分别从和的前3项中各随机抽取一项写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率。
考点：等差数列，等比数列，古典概型。
难度：易。分析：本题考查的知识点为演绎推理，等差等比数列的定义和通项公式，前项和公式和古典概型，直接应用。
解答：福建（文）（ⅰ设等差数列的公差为，等比数列的公比为。则。得：
ⅱ），各随机抽取一项写出相应的基本事件有。
共个。符合题意有共个。
这两项的值相等的概率为。
概率问题应该是去处理随机现象的问题，而不是勉强编造一些问题，这里实质上只是计算百分比。类似地，还有。
6．（2024年江苏省5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲
答案】。考点】等比数列，概率。
解析】∵以1为首项，为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，-27，··其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8，∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是。
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