考点24 抛物线。
1.（2010·福建高考理科·ｔ２以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（ ）
a. b.cd.
命题立意】本题考查学生对抛物线焦点的识记以及圆方程的求解。
思路点拨】 的焦点为，求解圆方程时，确定了圆心与半径即可。
规范解答】选d，抛物线的焦点为，又圆过原点，所以，方程为。
方法技巧】方法一：（设圆的标准方程）抛物线的焦点为，圆心为，设圆的方程为，又圆过原点， ，所求圆的方程为即为 ；
方法二：（设圆的一般方程）设圆的方程为，抛物线的焦点为，圆心为， ，又圆过原点，，，所求圆的方程为 .
2.（2010·陕西高考理科·ｔ8）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆x2+y2－6 x－7=0相切，则p的值为（ ）
a) (b) 1 (c) 2 (d) 4
命题立意】本题考查抛物线、圆等的基本概念与性质，属送分题。
思路点拨】[,
规范解答】选c 由y2=2px，得准线，圆x2+y2－6 x－7=0可化为，由圆心到准线的距离等于半径得：
3.（2010·辽宁高考理科·ｔ7）设抛物线y2=8x的焦点为f，准线为l,p为抛物线上一点，pa⊥l,a为垂足．如果直线af的斜率为，那么|pf|=（
(a) (b)8 (c) (d) 16
命题立意】本题考查抛物线的定义，考查抛物线的准线方程，考查两点间的距离公式。
思路点拨】规范解答】选b.由抛物线方程，可得准线l方程为：设点a坐标为（-2,n）,∴p点纵坐标为4
由，∴p点坐标为（6，4），∴pf|＝|pa|＝|6－（－2）|＝8，故选b.
4.（2010·山东高考文科·ｔ9）已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与、两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为。
（ab)(cd)
命题立意】本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力。
思路点拨】利用点差法先求出的值，再求抛物线的准线方程。
规范解答】选b，设，，则因为、两点在抛物线上，得。
得 ，又线段的中点的纵坐标为2，即，直线的斜率为1，故，因此抛物线的准线方程为。
方法技巧】弦中点问题。
1、对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件是。
2、在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率。
3、在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率。
4、在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率。
5（2010·湖南高考理科·ｔ5） 设抛物线上一点p到y轴的距离是4，则点p到该抛物线焦点的距离是（ ）
a. 4 b. 6 c. 8 d. 12
命题立意】考查抛物线的定义。
思路点拨】过点p向准线引垂线，连接点p和焦点，联想到抛物线的定义。
规范解答】选b.∵点p到y轴的距离是4，延长使得和准线相交于点q，则pq等于点p到焦点的距离，而pq=6，方法技巧】圆锥曲线上的点和焦点发生联系或者和准线发生联系常常联想到定义。
6.（2010·安徽高考文科·ｔ12）抛物线的焦点坐标是 .
命题立意】本题主要考查抛物线方程及其焦点，考查考生对抛物线方程理解认知水平。
思路点拨】规范解答】抛物线，所以，所以焦点。
答案】7.（2010·浙江高考理科·ｔ13）设抛物线的焦点为，点。若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为。
命题立意】本题考查抛物线的相关知识，考查抛物线的定义，准线。
思路点拨】先求出抛物线的焦点f，计算出点b的坐标，代入到抛物线方程，解出，从而可求出抛物线的方程，点b的坐标及准线方程。
规范解答】。抛物线的焦点坐标为f，fa中点在抛物线上，，，抛物线的准线方程为，点b到该抛物线准线的距离为。
答案】8．（2010·湖南高考理科·ｔ4）过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于两点，在轴上的正射影分别为．若梯形的面积为，则 ．
命题立意】以抛物线为载体，考查直线和圆锥曲线的关系，本题还考查了学生的运算能力。
思路点拨】直线和圆锥曲线→第三个方程→韦达定理。
规范解答】设直线方程为y=x+，结合得到x2-2px-p2=0，而梯形的面积==，p=2.
答案】2方法技巧】关于直线和圆锥曲线的问题，常有三条思路：一是利用定义。二是点差法。三是利用韦达定理。
9.（2010·福建高考文科·ｔ１9）已知抛物线c：过点a （1 , 2）.
i）求抛物线c 的方程，并求其准线方程；
ii）是否存在平行于oa（o为坐标原点）的直线l，使得直线l与抛物线c有公共点，且直线oa与l的距离等于？若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由。
命题立意】本题考查直线、抛物线等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数方程思想、数形结合思想、化归转化思想、分类与整合思想。
思路点拨】第一步用待定系数法求出抛物线方程及其准线方程；第二步依题意假设直线l的方程为，联立直线与抛物线的方程，利用判别式限制参数t的范围，再由直线oa与直线l的距离等于列出方程，求解出t的值，注意判别式对参数t的限制。
规范解答】（i）将代入，得，故所求的抛物线方程为，其准线方程为；
ii）假设存在符合题意的直线，其方程为，由得，因为直线与抛物线c有公共点，所以，解得。另一方面，由直线oa与直线的距离等于可得，由于，所以符合题意的直线存在，其方程为。
方法技巧】在求解直线与圆锥曲线的位置关系中的相交弦问题时，我们一定要注意判别式的限制。因为抛物与直线有交点，注意应用进行验证可避免增根也可以用来限制参数的范围。
10.（2010·浙江高考文科·ｔ22）已知m是非零实数，抛物线（p>0）的焦点f在直线上。
i）若m=2，求抛物线c的方程；
ii）设直线与抛物线c交于a、b，△a,△的重心分别为g,h
求证：对任意非零实数m,抛物线c的准线与x轴的交点在以线段gh为直径的圆外。
命题立意】本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线、点与圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。
思路点拨】（1）求出抛物线的焦点坐标代入到直线方程中可出求；（2）把点在圆外转化为点到圆心的距离大于半径。
规范解答】(ⅰ因为焦点f(,0)在直线l上，得。
又m=2,故。所以抛物线c的方程为。
2）设a(x1,y1) ,b(x2,y2)，由消去x，得y2－2m3y－m4＝0，由于m≠0，故＝4m6＋4m4＞0，且有y1＋y2＝2m3，y1y2＝－m4，设m1，m2分别为线段aa1，bb1的中点，由于。
可知g（），h（），所以
所以gh的中点m为。
设r是以线段gh为直径的圆的半径，则。
设抛物线的准线与x轴交点n，则。
故n在以线段gh为直径的圆外。
方法技巧】（1）设而不求思想在解决圆锥曲线问题时较常用，一般设出后，通过联立方程组，消元，利用韦达定理，得到（或），再整体代入；（2）点与圆的位置关系问题，一是看点到圆心的距离；二是代入到圆的方程中验证。