【教学要求】
了解结构位移的基本概念及其计算目的；
了解用积分法计算梁、刚架及桁架的位移；
掌握用图乘法计算梁、刚架有荷载引起的位移；
掌握有支座移动引起位移的方法计算；
掌握梁的刚度校核。
重点】掌握单位荷载法计算结构在荷载作用下的位移，其中对图乘法计算梁和刚架的位移要求熟练掌握；
难点】掌握单位荷载法计算结构在荷载作用下的位移，其中对图乘法计算梁和刚架的位移要求熟练掌握；
授课方式】 课堂讲解。
教学时数】 共计8学时。
教学过程】15.1 结构位移的概念。
15.2 变形体的虚功原理0.5学时。
15.3 结构位移计算的一般公式0.5学时。
15.4 荷载作用下的位移计算1学时
15.5 图乘法2学时。
15.6 静定结构支座移动时的位移计算2学时。
15.7 梁的刚度校核1.5学时。
15.8 线弹性结构的互等定理0.5学时
小结】课后作业】
15.1 结构位移的概念。
15．1.1概述。
1、变形 ：结构在荷载作用、温度变化、支座移动、制造误差与材料收缩等因素影响下，将发生尺寸和形状的改变，这种改变称为变形。
2、位移：结构变形后，构件上各点的位置会发生变动，这种位置的变动称为位移。
3、结构的位移通常有两种：
①线位移δ，即各截面形心的移动量；
②角位移φ，即截面转动角度。
如图1，图2所示。其中。
δa 、δb绝对线位移； δab=δa +δb --相对线位移；
φa 、φb绝对角位移； φab相对角位移。
15.1.2计算位移的目的：
1）验算结构的刚度。结构变形不得超过规范规定的容许值。
2）为超静定结构的内力计算打基础。
3）结构在施工过程中的挠度验算。
4)结构动力计算和稳定计算也需要计算结构的位移。
15.1.3引起位移的主要原因：
各种因素对静定结构的影响：
引起位移的主要原因有上述三种：①荷载作用、②温度变化、③支座移动和制造误差。
15.1.4计算方法。
本章只讨论线性变形体系的位移计算，计算方法是单位荷载法，其理论基础是虚功原理。
线性变形体系和叠加原理的使用条件是：①材料处于弹性阶段，应力与应变成正比；②小变形。因此可以应用叠加原理计算结构的位移。
15.2 变形体的虚功原理。
15.2.1、 虚功和虚功原理。
1）实功：力在本身引起的位移上作功，恒为正值。
2）虚功：力在其它原因引起的位移上所作的功（力在虚位移上作的功），可正可负。
如图（15-3）
图 15-3
力与位移同向，虚功为正，力与位移反向，虚功为负。
虚位移：与作功的力无关。是结构的支承条件和变形条件允许的微小位移。
引起位移的原因：可以是一组力，温度变化、支座位移等，也可以是假想的位移，故称为“虚”。
3）广义力和广义位移：
在功的计算公式w=pδ中，涉及到两方面因素：
与力有关的因素：
例如，一个力、一个力偶、一对力、一对力偶。把这些与力有关的因素称为广义力；
与广义力相应的位移因素：
例如，与集中力相应的广义位移是该力的作用点的总全位移在力的方向上的分量；
与集中力偶相应的广义位移是它所作用截面的转角；
与作用点不同但等值、反向、共线的一对力相应的广义位移是两力作用点沿两力方向的相对线位移；
与等值、反向一对力偶相应的广义位移是两力偶作用截面的相对转角，等……。把这些与位移有关的因素称为广义位移。
广义力与相应广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。
15.2.2 变形体虚功原理：
变形虚功：当给体系一虚位移时，除了外力（荷载、反力）在虚位移上作虚功外，内力在相应变形上也要作虚功。内力在相应变形上所作的虚功称为变形虚功。
变形体的虚功原理可描述为：变形体处于平衡的必要和充分条件是，对于任何虚位移，外力所作虚功总和，等于各微段上的内力在其变形上所作的虚功总和。
即：外力虚功＝变形虚功 （15—1） （为虚功方程）
注意：变形体虚功原理，对刚体也适用。因刚体发生虚位移时，微段不变形，，故得。
所以：刚体虚功原理是变形体虚功原理得一个特例。
虚功原理的适用范围：弹性、非弹性、线性、非线性的变形体系都适用。
15.2.3 变形虚功的计算。
如图15-4所示，微段的变形虚功：
整个结构得变形虚功： ·c）
所有微段两侧截面内力在相应变形上所作的虚功总和，称变形虚功。
虚功方程。对于平面杆件结构： （15－2）
虚功方程： （15－3）
图15-415.2.4 虚功原理的应用。
虚功有两种常见表达形式：由于产生虚功的力和位移无关，因此，即可以把位移看作是虚设的，也可以把力看作是虚设的。
1）位移是虚设的，虚功可以描述为：实际存在的力虚设的位移，由于位移是虚设的，这种形式下的虚功原理又叫做虚位移原理，可以用于求未知力。
2）力是虚设的，虚功可以描述为：实际存在的位移虚设的力，由于力是虚设的，这种形式下的虚功原理又叫做虚力原理，可以用于求未知位移。
小结】本节讲述了位移计算的目的，虚功原理。理解广义位移的概念。
课后作业】教材：p58，思考题3.
15.3 位移计算的一般公式单位荷载法。
15.3.1 一般公式
例图15-5（a）所示，由于荷载、支座移动引起了变形，求指定点k沿指定方向k-k上的位移。
ab图15-5
应用虚功原理，建立虚设状态如图15-5（b），、为引起的内力。
式（15—4）为平面杆系结构位移计算一般公式。
位移实际方向的确定： 为正，实际方向与方向相同；为负，实际方向与方向相反。
广义位移。
要点：用虚功原理求位移，关键在于虚设一个恰当的力状态。恰当之处：让在所求位移上作虚功，虚功恰好等于所求位移。这种计算位移的方法，叫虚设单位荷载法。
15.3.2 虚设广义单位荷载必须与拟求的广义位移相对应。如图15-6所示。
图15-515.3.2利用单位荷载法计算结构位移的步骤是：
(1) 根据欲求位移选定相应的虚拟状态；
(2) 列出结构各杆段在虚拟状态下和实际荷载作用下的内力方程；
(3) 将各内力方程分别代入位移计算公式，分段积分求总和即可计算出所求位移。
小结】熟练掌握根据待求得广义位移虚设单位力。
课后作业】教材：p58,思考题5.
15.4 静定结构在荷载作用下的位移计算。
15.4.1 荷载作用下的位移计算公式。
假定：结构的材料是线弹性，位移微小，应力应变符合虎克定律，位移与荷载成正比，荷载产生的位移可以叠加。
例图15-7（a）所示，求k点指定方向的位移。
图15-7位移计算公式： （15－5）
荷载引起： （a）
、、－虚拟状态中微段上的内力；
、、－实际状态微段的变形。
由材力知：
剪应力不均匀系数； 矩形， ；圆， ；
位移计算公式：
15－6）式――平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式。
分析：右三项分别表示：弯曲变形、轴向变形、剪切变形对所求位移的影响。
梁和刚架：（、引起的位移很小，可忽略不计。
桁架：（只有轴力、且ea沿杆长l是常数）
组合结构：（梁式杆只计m，链杆只计n）
15.4.2 计算举例。
例1 试求图15-8（a）所示刚架a点的竖向位移。各杆材料相同，截面i、a为常数。
图15-8解：(1)、建立虚拟状态如图（b），2)、写、式。
设坐标如图：
ab段： bc段：
3)、代入公式积分：
括号内第一项是弯矩m的影响；第二项是轴力n的影响；第三项是剪力q的影响。
4)、讨论：设截面为矩形
当时，取，得：
由此可见：影响可忽略。一般杆系结构不超过。
所以只考虑m的影响即可。
例2求图示桁架(各杆ea相同)c点竖向位移。
解：(1) 建立虚拟状态如图。
2) 求各杆内力、
3) 求（下弦视为两根杆）
小结】本节讲述了荷载作用下的位移计算公式。
梁和刚架：（、引起的位移很小，可忽略不计。
桁架：（只有轴力、且ea沿杆长l是常数）
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