2023年考研难题总结，（同济大学高数，线代 ，浙大）
150分钟)
一、（25分，每小题5分）
1）设其中求。
2）求。3）设，求。
4）设函数有二阶连续导数，，求。
5）求直线与直线的距离。
解：（1）=
令x=1/t,则。原式=
4）略（不难，难得写）
5）用参数方程求解。答案好像是。
二、（15分）设函数在上具有二阶导数，并且。
且存在一点，使得。
证明：方程在恰有两个实根。
解：（简要过程）
二阶导数为正，则一阶导数单增，f(x)先减后增，因为f(x)有小于0的值，所以只需在两边找两大于0的值。
将f(x)二阶泰勒展开。
因为二阶倒数大于0，所以。
证明完成。三、（15分）设函数由参数方程所确定，其中具有二阶导数，曲线与在出相切，求函数。
解：（这儿少了一个条件）由与在出相切得。
上式可以得到一个微分方程，求解即可。
四、（15分）设证明：
1）当时，级数收敛；
2）当且时，级数发散。
解：1）>0,单调递增。
当收敛时，，而收敛，所以收敛；
当发散时，所以，
而，收敛于k。
所以，收敛。
所以发散，所以存在，使得。
于是， 依此类推，可得存在。
使得成立。所以。
当时， 所以发散。
五、（15分）设是过原点、方向为，（其中的直线，均匀椭球。
其中（密度为1）绕旋转。
1）求其转动惯量；
2）求其转动惯量关于方向的最大值和最小值。
解：1）椭球上一点p(x,y,z)到直线的距离。
由轮换对称性，2）
当时， 当时，
六、(15分)设函数具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线上，曲线积分的值为常数。
1）设为正向闭曲线证明。
2）求函数；
3）设是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求。
解：1） l不绕原点，在l上取两点a，b，将l分为两段，，再从a，b作一曲线，使之包围原点。
则有。2） 令。
由（1）知，代入可得。
上式将两边看做y的多项式，整理得。
由此可得。解得：
3） 取为，方向为顺时针。
最后一步曲线积分略去，不知答案对不对）
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