1、如图，△abc中，在ab上取一点d，ac的延长线上取一点e，使bd=ce.连结de交bc于f，且df=ef.设bc=a，ac=b，ab=c，当m>0时，关于x的方程x2-2x+=0有两个相等的实数根。
1）求证：ab=ac；
2）若关于x的一元二次方程c(1-x2)+2bx+a(1+x2)=0有两个相等实数根，求m的值，设ab=3，af=，求作以bf、cf为根的一元二次方程；
3）试比较ab、bc、de的大小。
请将此题改编成一道满足下面条件的综合题。
1）此题有三问；
2）第一问是要求是**三条线段之间关系的问题（相等关系），至少有一条线段的系数不为1和-1，解决此问的正常思路应该是用三角形全等的方法证明；
3）第二问通过点的移动，继续**这三条线段之间满足的关系式；
4）第三问设计一个求线段长的问题，要求分两种情况；
5）三问之间要有一定的梯度及一定的内在联系；
6）所编题目要求保留原来图形，不含有一元二次方程的知识，但要保留题目中的已知条件；
7）题目在原有图形的基础上进行变化；
8）此题要求有动点；
9）要求体现更多的知识点；
10）题目编织新颖、独特、具有一定的引领性；
1、已知，如图，△abc中，ab=ac，在射线ab上取一点d，在直线ac上取一点e，使bd=ce，连结de交线段bc于点f，且df=ef，过点d作直线gh⊥bc，分别交直线bc、ac于点g、h．
1）当点d**段ab上（如图1，点d不与a、d重合）时，求证：eh=2ah+2bd；
2）当点d**段ab的延长线上时，线段eh、ah和bd三者之间的数量关系是。
3）若ab=3，af=，bd=1，将△adf沿ad折叠得到△adr，直线ar交dh于点m，连接rh,求线段rh的长。
答案提示：1）过点d作dn∥bc，dp∥ce
由df=fe，可证△dpe≌△ecf（asa），可得dp=ce，∴dp=db，从而得到ab=ac。
ad=an，可得bd=nc=ce，从而ah=an，∴eh=2ah+2nc=2ah+2bd
2）eh=2ah-2ce
当点d**段ab上时，由bd=1，可得ad=ah=2，ae=ac+ce=4，延长af到q，使af=fq，得到eq=2，aq=，由勾股定理逆定理可得，∠aeq=∠bae=90°，由折叠可知四边形ardf为菱形，ar∥de，可得△ahm∽△ehd，可得hm：hd=ha：he=am：
de=1：3，可得am=，由ar=af=，rm=，可得rm：am=hm：
md=1：2，可得，rh=1
当点d**段ab的延长线上时，同理可得，∠aeq=∠bae=90°，四边形ardf为菱形，作rt⊥ah,可得△rta∽△dae，可得at=1，rt=2，可得rh=.
2、在△abc中，∠bac=90°，点d为射线ab上一点，点e为直线ac上一点，bd=ce，连接de交直线bc于点f，且df=ef.
1）如图①，当点d**段ab上时，求证：ab－ce=cf；
2）当点d**段ab的延长线上时，线段ab、ce、cf三者之间的数量关系为。
3）连接af，∠b'af'与∠baf重合，将∠b'af'绕点a逆时针旋转45°，旋转后边ab'分别与直线de、bc交于点p、m，af'分别与直线bc交于点n，当ab=3，af=，求线段pe的长。
答案：（3）此问分两种情况：
第一种情况：如图1
过点p作pk⊥ae，垂足为k，易知△akp为等腰直角三角形。
易求bc=，am=bm=mc=，则mf=，cf=,由（1）的结论可求ce=bd=1，则有ad=2，ae=4，∴tane=
设ak=pk=x，则ke=2x，所以x+2x=4，解得x=，∴pe=
第二种情况：如图2
过点p作pk⊥ad，垂足为k，易知△akp为等腰直角三角形。
易求bc=，am=bm=mc=，则mf=，cf=,由（2）的结论可求ce=bd=1，则有ad=4，ae=2，∴tand=
设ak=pk=x，则kd=2x，所以x+2x=4，解得x=，∴pd=
又∵de=，∴pe=
综上所述，pe的长为或。
3、如图，△abc中，ab=ac,∠a=120°,dg∥ac,点f在bc上，连接df交ac于点e.
1) 点f 是de的中点，求证：ac-ce=gc
2)当时**ac,cf,gc的关系。
3)△dgf绕d旋转得到△d′g′f′使dg′∥bc,df′
交ac于n，g′f′交ac于m,在（1）的条件下。
ac=4,ce=2求dn的长。
证明：（1）过点a作ap⊥bc于点p，过点d作dq⊥bc于点q。
∠a=120° ab=ac
∠b=∠acb=30°
在rt⊿apc中 ∠acb=30°
pc=acbc=ac
dg∥ac
∠dgc﹦∠ecf ∠gdf﹦∠fec
df﹦ef△dgf≌△ecf
dg=cebd=ce
bd=dg∠b=∠dgb=30°
bd=dg ∠bdg=120°
在rt⊿dpg中 ∠bgd=30°
qg=dgbg=dg
bc-bg=gc
ac-ce=gc
2) 易证△dgf∽△ecf
dg=cebd=dg
bd=cebg= bd
bg= ce
cg=bc-bg
cg= ac- ce
4、已知：在△abc中，动点d、e分别从点b、c同时出发，以相同速度分别沿。
射线ba、ac方向运动。连接de交直线bc于点f，且fd=fe，过d作dm⊥bc于m.
1）如图1，当点d**段ab上时，求证：bf=2bm+cf；
2）如图2，当点d在ba延长线时，请直接写出bf、bm、cf三者之间的数量关系；
3）在图1中，若ab=，fc=，tan∠ acb=,将角bdm绕点d旋转，旋转后角的。
两边db、dm分别交直线bc于p、q两点，在旋转过程中，当角的一边与de垂直时，求线段pq的长。
5、如图a，在△abc中，∠b=30°，在射线ba上取一点d，线段ac的延长线上取一点e，使bd=ce.连接de交直线bc于f，且df=ef.
1）当点d**段ab上运动时，请直接**线段bc、cf、ce之间的数量关系并证明；
2）如图b，当点d运动到线段ba的延长线上，请直接写出线段bc、cf、ce之间的数量关系。
3）若ad=2，且cf∶bc=1∶3时，求线段de的长。
6、如图， abc中，在ab上取一点d，在射线ac上取一点e，连接de交射线bc于点f，且df=ef，bd=ce，bc=ab，1） 求证：bc=2cf+bd
2） 当d点在ab延长线时（如图2）或d在ba延长线时（如图3）请直接写出bc、bd、cf之间的数量关系。
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