2013-2024年高考文科数学分类汇编。
题型99 空间角与空间距离。
2024年。
1．（2013江西文19）如图，直四棱柱中，，，为上一点，，.
1）证明：⊥平面；
2）求点到平面的距离。
2. (2013天津文17） 如图， 三棱柱中， 侧棱⊥底面，且各棱长均相等。 分别为棱的中点。
1）证明：平面；
2）证明：平面⊥平面；
3）求直线与平面所成角的正弦值。
3. (2013湖南文17） 如图2.在直棱柱中，，，是的中点，点在棱上运动。
1）证明：；
2）当异面直线， 所成的角为时，求三棱锥的体积。
4.(2013浙江文20）如图，在在四棱锥中，⊥面，，，为线段上的点。
1）证明：⊥平面；
2）若是的中点，求与所成的角的正切值；
3）若满足⊥ 面，求的值。
2024年。
1.（2014大纲文4）已知正四面体abcd中，e是ab的中点，则异面直线ce与bd所成角的余弦值为（ ）
a． b． c． d．
2.（2014天津文17）如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，，,分别是棱的中点。
1） 求证：平面；
2） 若二面角为，1 求证：平面平面；
2 求直线与平面所成角的正弦值。
3.（2014浙江文20）如图所示，在四棱锥中，平面平面；，，
1）求证：平面；
2）求直线与平面所成的角的正切值。
4.（2014大纲文19）如图所示，三棱柱中，点在平面abc内的射影d在ac上，，.
1）求证：；
2）设直线与平面的距离为，求二面角的大小。
5. （2014新课标ⅱ文18）如图所示，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点。
1）求证：平面；
（2）设，，三棱锥的体积，求到平面的距离。
5.（2014湖南文18）如图所示，已知二面角的大小为，菱形在面内，两点在棱上，，是的中点，面，垂足为。
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值。
2024年。
1.（2015江苏文22）如图所示，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，
1）求平面与平面所成二面角的余弦值；
2）点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长．
1.解析由平面，故，，两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
1）易知平面，故平面的一个法向量为．
又，设平面的一个法向量为，则，所以，取，则，，故，因此，易知平面与平面所成二面角为锐二面角，故其余弦值为．
2）因，设，．
所以，因此，设，所以。
令，则，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，有最大值，即有最大值，此时直线与所成的角最小，故．
评注也可以假设点的坐标解决．
在求解的最大值时，也可以处理成：
设，则，所以，所以当，取最小值， 此时取最大值，此时直线与所成的角最小，即，解得，故．
2024年。
1.（2016全国乙文11）平面过正方体的顶点，平面，平面，平面，则所成角的正弦值为（ ）
ab. c. d.
解析解法一：将图形延伸出去，构造一个正方体，如图所示。通过寻找线线平行构造出平面，即平面，即研究与所成角的正弦值，易知，所以其正弦值为。故选a.
解法二（原理同解法一）：过平面外一点作平面，并使平面，不妨将点变换成，作使之满足同等条件，在这样的情况下容易得到，即为平面，如图所示，即研究与所成角的正弦值，易知，所以其正弦值为。故选a.
2.（2016浙江文14）如图所示，已知平面四边形，，，沿直线将翻折成，直线与所成角的余弦的最大值是___
2. 解析设直线与所成角为。设是中点由已知得，如图所示，以为轴，为轴，过与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，有，，.
作于，翻折的过程中，始终与垂直，且的长度始终不变，，则，，因此可设，则，与平行的单位向量为。
所以，所以时，取最大值。
3.（2016上海文19）将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图所示，长为，长为，其中与在平面的同侧。
1）求圆柱的体积与侧面积；
2）求异面直线与所成的角的大小。
3.解析 （1）由题意可知，圆柱的母线长，底面半径。
圆柱的体积，圆柱的侧面积。
2）设过点的母线与下底面交于点，则，所以或其补角为与所成的角。
由长为，可知，由长为，可知，所以异面直线与所成的角的大小为。
4.（2016浙江文18）如图所示，在三棱台中，平面平面，，，
1）求证：平面；
2）求直线与平面所成角的余弦值。
4.解析 （1）因为此几何体三棱台，延长可相交于一点，如图所示。
因为平面，平面为，，且，所以，因此。
又因为，可以求得，所以为等边三角形，且为的中点，则。
因为，，所以平面。
2）因为平面，所以是直线与平面所成的角，因为点为的中点，，所以。在中，，，得。所以直线与平面所成的角的余弦值为。
5.（2016天津文17）如图所示，四边形是平行四边形，平面平面，，，为的中点。
1）求证：平面；
2）求证：平面平面；
3）求直线与平面所成角的正弦值。
5.解析 （1）如图所示，取的中点为，联结，.
在中，因为是的中点，所以且。
又因为，，所以且，即四边形是平行四边形，所以。又平面，平面，所以平面。
2）证明：在中，，，
由余弦定理可得，进而可得，即。
又因为平面平面，平面，平面平面，所以平面。
又因为平面，所以平面平面。
3）因为，所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角。
过点作于点，连接，如图所示。
又因为平面平面，由（2）知平面，所以直线与平面所成角即为。
在中，.由余弦定理可得，所以。
因此。在中，所以直线与平面所成角的正弦值为。
2024年。
1.（2017天津文17）如图所示，在四棱锥中，平面，，，
1）求异面直线与所成角的余弦值；
2）求证：平面；
3）求直线与平面所成角的正弦值。
解析 （1）如图所示，由已知，故或其补角即为异面直线与所成的角。因为平面，平面，所以。
在中，由勾股定理，得，故。
所以异面直线与所成角的余弦值为。
2）证明：因为平面，直线平面，所以。
又因为，所以。
又，且，所以平面。
3）如图所示，过点作的平行线交于点，联结，则与平面所成的角等于与平面所成的角。
因为pd⊥平面，平面，所以pd⊥，所以为在平面上的射影，所以为直线和平面所成的角。
因为，，所以四边形是平行四边形，所以。
由，得。因为平面，平面，所以，又因为，所以。
在中，由勾股定理得，所以。
所以直线与平面所成角的正弦值为。
2.（2017浙江19）如图所示，已知四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，，，为的中点。
1）证明：平面；
2）求直线与平面所成角的正弦值。
解析 （1）如图所示，设de的中点为，联结，.
因为，分别为，的中点，所以，且。
又因为，，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，所以平面。
2）分别取，的中点为，.联结交于点，联结。
因为，，分别是，，的中点，所以为的中点，在平行四边形中，.
由为等腰直角三角形，得。
由，是的中点，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，所以。又，所以平面，由，得平面，又平面，所以平面平面。
过点作的垂线，垂足为，联结。
是在平面上的射影，所以是直线与平面所成的角。
设。在中，由，，，由余弦定理得，又平面，平面，所以。在中，由，，,为的中点，得。
在中，，，所以，所以直线与平面所成角的正弦值是。
2024年。
1.（2018全国ⅱ文19）如图，在三棱锥中，为的中点．
1）证明：平面；
2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．
解析（1）因为，为的中点，所以，且．
联结，因为，所以为等腰直角三角形，所以，．
由知．又，，平面，所以平面．
2）如图所示，作ch⊥om，垂足为h，又由（1）可得op⊥ch，所以ch⊥平面pom．
故的长为点c到平面的距离．
由题意可知oc==2，cm==，acb=45°．
所以om=，由得，ch==．
所以点c到平面pom的距离为．
2.（2018天津文17）如图，在四面体中，△是等边三角形，平面，点m为棱ab的中点，．
ⅰ）求证：；
ⅱ）求异面直线bc与md所成角的余弦值；
ⅲ）求直线cd与平面abd所成角的正弦值．
命题意图本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．
解析 （ⅰ由平面，，可得．
ⅱ）取棱ac的中点n，连接mn，nd．又因为m为棱ab的中点，故mn∥bc．所以∠dmn（或其补角）为异面直线bc与md所成的角．
在rt△中，故．因为ad⊥平面abc，故ad⊥ac．
在rt△中，故．
在等腰三角形dmn中，mn=1，可得．
所以，异面直线bc与md所成角的余弦值为．
ⅲ）联结cm．因为△abc为等边三角形，m为边ab的中点，故cm⊥ab，cm=．又因为平面abc⊥平面abd，而cm平面abc，故cm⊥平面abd．所以，∠cdm为直线cd与平面abd所成的角．
在rt△cad中，cd==4．
在rt△cmd中，．
所以，直线cd与平面abd所成角的正弦值为．
3.（2018浙江8）已知四棱锥sabcd的底面是正方形，侧棱长均相等，e是线段ab上的点（不含端点），设se与bc所成的角为θ1，se与平面abcd所成的角为θ2，二面角sabc的平面角为θ3，则（ ）
a．θ1≤θ2≤θ3b．θ3≤θ2≤θ1c．θ1≤θ3≤θ2d．θ2≤θ3≤θ1
解析如图所示，设点是棱的中点，点是底面正方形的中心，过点作，交于，则是与所成的角。联结，，则是与底面所成的角。联结，，则是二面角的平面角。
， 所以最小，最大。，因为，所以，即，所以。
综上，（当点为的中点时，有）.故选d.
4.（2018浙江19）如图，已知多面体abc-a1b1c1，a1a，b1b，c1c均垂直于平面abc，∠abc=120°，a1a=4，c1c=1，ab=bc=b1b=2．
ⅰ）证明：ab1⊥平面a1b1c1；
ⅱ）求直线ac1与平面abb1所成的角的正弦值．
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