第ⅰ卷。
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列命题是真命题的为。
a．若 ,则 b．若 ,则
c．若 ,则 d．若 ,则
2．函数的定义域为。
a． b． c． d．
3．50 名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为。
a．50 b．45 c．40 d．35
4．函数的最小正周期为。
a． b． c． d．
5．已知函数是上的偶函数，若对于 ，都有 ，且当时， ，则的值为。
a． b． c． d．
6．若能被整除，则的值可能为。
a． b． c． d．
7. 设和为双曲线 ( 的两个焦点， 若 ， 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为。
a． b． c． d．3
8．公差不为零的等差数列的前项和为 .若是的等比中项， ,则等于。
a. 18 b. 24 c. 60 d. 90
9．如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，错误的为。
. .截面
. 异面直线与所成的角为
10．甲、乙、丙、丁个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为。
a． b． c． d．
11．如图所示，一质点在平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在轴上的投影点的运动速度的图象大致为。
12．若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于。
a． 或 b． 或 c． 或 d． 或。
第ⅱ卷。注意事项：
第ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效。
二。填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。请把答案填在答题卡上。
13．已知向量 ， 若则 =
14．体积为的一个正方体，其全面积与球的表面积相等，则球的体积等于 ．
15．若不等式的解集为区间 ，且 ,则 ．
16．设直线系 ,对于下列四个命题：
．存在一个圆与所有直线相交。
．存在一个圆与所有直线不相交。
．存在一个圆与所有直线相切。
． 中的直线所能围成的正三角形面积都相等。
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
三。解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
设函数 1）对于任意实数 ， 恒成立，求的最大值；
（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围。
18．（本小题满分12分）
某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是 .若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．求：
(1) 该公司的资助总额为零的概率；
（2）该公司的资助总额超过15万元的概率．
19．（本小题满分12分）
在△ 中， 所对的边分别为 ，
（1）求 ；
（2）若 ，求 ,
20．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是矩形， 平面 ， 以的中点为球心、 为直径的球面交于点 ．
（1）求证：平面 ⊥平面 ；
（2）求直线与平面所成的角；
（3）求点到平面的距离．
21．（本小题满分12分）
数列的通项 ，其前n项和为
1) 求 ;
(2) 求数列｛ ｝的前n项和 .
22．（本小题满分14分）
如图，已知圆是椭圆的内接△ 的内切圆， 其中为椭圆的左顶点。
（1）求圆的半径 ;
（2）过点作圆的两条切线交椭圆于两点，证明：直线与圆相切．
绝密★启用前秘密★启用后。
2009年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
文科数学参***。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 a d b a c c b c c d b a
1. 由得 ,而由得 ,由 , 不一定有意义，而得不到
故选a.2. 由得或 ,故选d.
3. 仅参加了一项活动的学生人数=50-(30+25-50)=45, 故选b.
4. 由可得最小正周期为 ,故选a.
5. ,故选c.
6. ,当时， 能被7整除， 故选c.
7. 由有 ,则 ,故选b.
8. 由得得 ,再由得
则 ,所以 ,.故选c
9. 由可得 ⊥ 故正确；
由 ∥ 可得 ∥截面 ，故正确；
异面直线与所成的角等于与所成的角，故正确；
综上是错误的，故选 .
10. 所有可能的比赛分组情况共有种，甲乙相遇的分组情况恰好有6种，故选 .
11. 由图可知，当质点在两个封闭曲线上运动时，投影点的速度先由正到0、到负数，再到0，到正，故错误；质点在终点的速度是由大到小接近0，故错误；质点在开始时沿直线运动，故投影点的速度为常数，因此是错误的，故选 .
12. 设过的直线与相切于点 ，所以切线方程为
即 ，又在切线上，则或 ，当时，由与相切可得 ，当时，由与相切可得 ，所以选 .
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13. 14. 15. 16. abc
13..因为所以 .
14.设球的半径为 ，依题设有 ，则 ，球的体积为。
15.由数形结合，半圆在直线之下必须 ，则直线过点 ，则
16. 因为所以点到中每条直线的距离。
即为圆 : 的全体切线组成的集合，所以存在圆心在 ,半径大于1的圆与中所有直线相交， 也存在圆心在 ,半径小于1的圆与中所有直线均不相交， 也存在圆心在 ,半径等于1的圆与中所有直线相切，故abc正确，又因中的边能组成两类大小不同的正三角形，故d错误，故命题中正确的序号是abc
三、解答题：本大题共6小题，共74分。
17．解：(1) ,
因为 , 即恒成立，
所以 , 得 ，即的最大值为
2) 因为当时， ;当时， ;当时， ;
所以当时， 取极大值 ;
当时， 取极小值 ;
故当或时， 方程仅有一个实根。 解得或 .
18．解：（1）设表示资助总额为零这个事件，则。
2）设表示资助总额超过15万元这个事件，则。
19．解：（1）由得
则有 = 得即 .
（2） 由推出 ；而 ,即得 ,则有解得
20．解：方法（一）：
（1）证：依题设，ｍ在以ｂｄ为直径的球面上，则ｂｍ⊥
（２）设平面ａｂｍ与ｐｃ交于点ｎ，因为ａｂ∥所以ａｂ∥平面ｐｃｄ则ａｂ∥由（1）知，ｐｄ平面ａｂｍ则mn是pn在平面abm上的射影，所以就是与平面所成的角，且
所求角为 3）因为o是bd的中点，则o点到平面abm的距离等于d点到平面abm距离的一半，由（1）知，ｐｄ平面ａｂｍ于m，则|dm|就是d点到平面abm距离。
因为在rt△pad中， ，所以为中点， ，则o点到平面abm的距离等于 。
方法二：（1）同方法一；
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则。
设平面的一个法向量 ，由可得： ，令 ，则 ，即 .
设所求角为 ，则 ，所求角的大小为 .
（3）设所求距离为 ，由 ，得：
21. 解：
1）由于 ,故 故 (
两式相减得。
故 22．解：
1）设 ，过圆心作于 , 交长轴于
由 得 ,即 (1)
而点在椭圆上，(2)
由(1)、 2)式得 ,解得或 （舍去）
(2) 设过点与圆相切的直线方程为： (3)
则 ,即 (4)
解得 将(3)代入得 ,则异于零的解为
设 , 则
则直线的斜率为：
于是直线的方程为：
即 则圆心到直线的距离
故结论成立。
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