江苏省淮安市清浦中学董建奎徐晓功。
2010高考江苏卷第20题（2）：
设使定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的都有》0，使得，则称函数具有性质。
1)设函数，其中为实数。
求证：函数具有性质；
求函数的单调区间；
2）已知函数具有性质，给定，，且，若||<求的取值范围。
优美解1：由题设知，的导数，其中函数对于任意的都成立，所以，当时，，从而在区间上单调递增。
由，结合数轴知，表示的点在，表示的点的中点的两侧。显然，且有。
同理，说明，表示的点同在，表示的点的内部或同在外部，又，表示的点在，表示的点的中点的两侧，所以，表示的点在，表示的点的外部的时候不会在，表示的点的同一侧，由已知||<且在上单调递增，得到，表示的点只能同在，表示的点的内部。，得。
评析：此优美解法从代数角度推证出，在区间内的条件，着眼全局，避免了分类讨论，从而缩短了思维过程，减少了计算量。
优美解2：由题设知，的导数，其中函数对于任意的都成立，所以，当时，，从而在区间上单调递增。
由，结合数轴知，表示的点在，表示的点的中点的两侧。且，表示的点同在，表示的点的内部或同在外部，由已知||<且在上单调递增，得到，表示的点只能同在，表示的点的内部。显然，由定比分点知识得，解得。
评析：此优美解法从定比分点角度分析得出，在区间内的条件，回避标准答案中烦琐的分类讨论的方法，使问题轻松得以解决。
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