华南理工大学研究生课程考试。
数值分析》试卷b
2024年1月7日。
注意事项：1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚；
2. 所有答案请按要求填写在试卷上；
3. 课程**：s0003004
4. 考试形式：闭卷。
5. 考生类别：硕士研究生。
6. 本试卷共八大题，满分100分，考试时间为150分钟。
一．选择、判断、填空题(10小题，每小题2分，共20分。
** 第1--2小题： 选择a、b、c、d四个答案之一， 填在括号内， 使命题成立 **
1．数学模型的数值解与该数学模型的精确解之间的误差称为。
a）模型误差 b） 观测误差 c） 截断误差 d） 舍入误差。
2. 解线性代数方程组的列主元高斯消去法，与顺序高斯消去法相比，其优点是能。
a）节省存储空间 b） 提高计算精度 c） 减少计算量 d） 提高计算速度。
** 第3--6小题： 判断正误， 正确写"√ 错误写"× 填在括号内 **
3．一般而言，两个相近的数相减会导致有效数字的损失。(
4．通过n+1个点的n次牛顿插值多项式nn(x)与通过这n+1个点的n次拉格朗日插值多项式ln(x)是恒等的。(
5．两个节点的newton—cotes求积公式就是两点高斯求积公式。
6．在常微分方程数值解法中，点xn+1处精确解y(xn+1)与对应数值解yn+1之差就称为。
局部截断误差。（
** 第7--10小题： 填空题，将答案填在横线上 **
7．设x= 0.012345 是经四舍五入得到的近似数，则它有位有效数字，它的非保守。
估计的绝对误差限为。
8．解线性代数方程组的顺序高斯消去法包括过程和过程。
9．一次插值在几何上就是用线近似代替已知曲线。
10．设， 则。
二．( 12分) 依据如下函数值表。
(1) 构造插值多项式满足以上插值条件；
(2) 给出插值余项表达式（不必证明）。
三．(11分) 设有试验数据如下：
试求其形如的拟合曲线。
四．( 11分) 求积公式≈的代数精度是多少？ 已知其余项。
的表达式为，其中，问是多少？
五．（11分）用顺序gauss消去法解线性方程组（用增广矩阵表示求解过程）：
计算过程中遇小数保留小数点后4位。
六．(11 分) 设非奇异，，证明：对于迭代公式。
产生的近似解序列收敛于方程组ax=b 的解，其中。
七．（12分）已经知道，求一个数 r 的倒数可以不用除法而用下面的迭代公式算出：
x n+1 = x n (2 – x n r), n = 0,1,2,..
试利用求根的牛顿迭代推导出该迭代公式，并利用判据确定该迭代法的收敛阶数。
八． (12分)
1) 试分别运用taylor展开的方法、以差商离散导数项的方法和数值积分的方法推导出求解y’ =f (x , y), y (x0) =y0 的euler公式：
y n+1 = y n + h f (x n , y n )，n = 0,1,2…
2) 若用euler公式解初值问题。
试推导出该数值方法的绝对稳定条件。
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