一、填空题(本大题共14题,每小题4分,共56分).
1.(4分)设x∈r,则不等式|x﹣3|<1的解集为 .
2.(4分)设z=,其中i为虚数单位,则z的虚部等于 .
3.(4分)已知平行直线l1:2x+y﹣1=0,l2:2x+y+1=0,则l1,l2的距离 .
4.(4分)某次体检,5位同学的身高(单位:米)分别为1.72,1.78,1.80,1.69,1.76.则这组数据的中位数是 (米).
5.(4分)若函数f(x)=4sinx+acosx的最大值为5,则常数a= .
6.(4分)已知点(3,9)在函数f(x)=1+ax的图象上,则f(x)的反函数f﹣1(x)=
7.(4分)若x,y满足,则x﹣2y的最大值为 .
8.(4分)方程3sinx=1+cos2x在区间[0,2π]上的解为 .
9.(4分)在(﹣)n的二项式中,所有的二项式系数之和为256,则常数项等于 .
10.(4分)已知△abc的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于 .
11.(4分)某食堂规定,每份午餐可以在四种水果中任选两种,则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为 .
12.(4分)如图,已知点o(0,0),a(1,0),b(0,﹣1),p是曲线y=上一个动点,则的取值范围是 .
13.(4分)设a>0,b>0.若关于x,y的方程组无解,则a+b的取值范围是 .
14.(4分)无穷数列由k个不同的数组成,sn为的前n项和,若对任意n∈n*,sn∈,则k的最大值为 .
二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题有且只有一个正确答案,选对得5分,否则一脸得零分).
15.(5分)设a∈r,则“a>1”是“a2>1”的( )
a.充分非必要条件 b.必要非充分条件。
c.充要条件 d.既非充分也非必要条件。
16.(5分)如图,在正方体abcd﹣a1b1c1d1中,e、f分别为bc、bb1的中点,则下列直线中与直线ef相交的是( )
a.直线aa1 b.直线a1b1 c.直线a1d1 d.直线b1c1
17.(5分)设a∈r,b∈[0,2π),若对任意实数x都有sin(3x﹣)=sin(ax+b),则满足条件的有序实数对(a,b)的对数为( )
a.1 b.2 c.3 d.4
18.(5分)设f(x)、g(x)、h(x)是定义域为r的三个函数,对于命题:①若f(x)+g(x)、f(x)+h(x)、g(x)+h(x)均是增函数,则f(x)、g(x)、h(x)均是增函数;②若f(x)+g(x)、f(x)+h(x)、g(x)+h(x)均是以t为周期的函数,则f(x)、g(x)、h(x)均是以t为周期的函数,下列判断正确的是( )
a.①和②均为真命题 b.①和②均为假命题。
c.①为真命题,②为假命题 d.①为假命题,②为真命题。
三、简答题:本大题共5题,满分74分。
19.(12分)将边长为1的正方形aa1o1o(及其内部)绕oo1旋转一周形成圆柱,如图,长为,长为,其中b1与c在平面aa1o1o的同侧.
1)求圆柱的体积与侧面积;
2)求异面直线o1b1与oc所成的角的大小.
20.(14分)有一块正方形efgh,eh所在直线是一条小河,收获的蔬菜可送到f点或河边运走.于是,菜地分别为两个区域s1和s2,其中s1中的蔬菜运到河边较近,s2中的蔬菜运到f点较近,而菜地内s1和s2的分界线c上的点到河边与到f点的距离相等,现建立平面直角坐标系,其中原点o为ef的中点,点f的坐标为(1,0),如图。
1)求菜地内的分界线c的方程;
2)菜农从蔬菜运量估计出s1面积是s2面积的两倍,由此得到s1面积的经验值为.设m是c上纵坐标为1的点,请计算以eh为一边,另一边过点m的矩形的面积,及五边形eomgh的面积,并判断哪一个更接近于s1面积的“经验值”.
21.(14分)双曲线x2﹣=1(b>0)的左、右焦点分别为f1、f2,直线l过f2且与双曲线交于a、b两点.
1)若l的倾斜角为,△f1ab是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;
2)设b=,若l的斜率存在,且|ab|=4,求l的斜率.
22.(16分)对于无穷数列与,记a=,b=,若同时满足条件:①,均单调递增;②a∩b=且a∪b=n*,则称与是无穷互补数列.
1)若an=2n﹣1,bn=4n﹣2,判断与是否为无穷互补数列,并说明理由;
2)若an=2n且与是无穷互补数列,求数量的前16项的和;
3)若与是无穷互补数列,为等差数列且a16=36,求与的通项公式.
23.(18分)已知a∈r,函数f(x)=log2(+a).
1)当a=1时,解不等式f(x)>1;
2)若关于x的方程f(x)+log2(x2)=0的解集中恰有一个元素,求a的值;
3)设a>0,若对任意t∈[,1],函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围.
2024年上海市高考数学试卷(文科)
参***与试题解析。
一、填空题(本大题共14题,每小题4分,共56分).
1.(4分)设x∈r,则不等式|x﹣3|<1的解集为 (2,4) .
分析】由含绝对值的性质得﹣1<x﹣3<1,由此能求出不等式|x﹣3|<1的解集.
解答】解:∵x∈r,不等式|x﹣3|<1,﹣1<x﹣3<1,解得2<x<4.
不等式|x﹣3|<1的解集为(2,4).
故答案为:(2,4).
点评】本题考查含绝对值不等式的解法,是基础题,解题时要认真审题,注意含绝对值不等式的性质的合理运用.
2.(4分)设z=,其中i为虚数单位,则z的虚部等于 ﹣3 .
分析】利用复数的运算法则即可得出.
解答】解:z===3i+2,则z的虚部为﹣3.
故答案为:﹣3.
点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
3.(4分)已知平行直线l1:2x+y﹣1=0,l2:2x+y+1=0,则l1,l2的距离 .
分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可.
解答】解:平行直线l1:2x+y﹣1=0,l2:2x+y+1=0,则l1,l2的距离:=.
故答案为:.
点评】本题考查平行线之间的距离公式的应用,考查计算能力.
4.(4分)某次体检,5位同学的身高(单位:米)分别为1.72,1.78,1.80,1.69,1.76.则这组数据的中位数是 1.76 (米).
分析】将数据从小到大进行重新排列,根据中位数的定义进行求解即可.
解答】解:将5位同学的身高按照从小到大进行排列为1.69,1.72,1.76,1.78,1.80.
则位于中间的数为1.76,即中位数为1.76,故答案为:1.76
点评】本题主要考查中位数的求解,根据中位数的定义,将数据从小到大进行排列是解决本题的关键.
5.(4分)若函数f(x)=4sinx+acosx的最大值为5,则常数a= ±3 .
分析】利用辅助角公式化简函数f(x)的解析式,再利用正弦函数的最大值为5,求得a的值.
解答】解:由于函数f(x)=4sinx+acosx=sin(x+θ)其中,cosθ=,sinθ=,故f(x)的最大值为=5,∴a=±3,故答案为:±3.
点评】本题主要考查辅助角公式,正弦函数的值域,属于基础题.
6.(4分)已知点(3,9)在函数f(x)=1+ax的图象上,则f(x)的反函数f﹣1(x)= log2(x﹣1)(x>1) .
分析】由于点(3,9)在函数f(x)=1+ax的图象上,可得9=1+a3,解得a=2.可得f(x)=1+2x,由1+2x=y,解得x=log2(y﹣1),(y>1).把x与y互换即可得出f(x)的反函数f﹣1(x).
解答】解:∵点(3,9)在函数f(x)=1+ax的图象上,∴9=1+a3,解得a=2.
f(x)=1+2x,由1+2x=y,解得x=log2(y﹣1),(y>1).
把x与y互换可得:f(x)的反函数f﹣1(x)=log2(x﹣1).
故答案为:log2(x﹣1),(x>1).
点评】本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的互化,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
7.(4分)若x,y满足,则x﹣2y的最大值为 ﹣2 .
分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,进行求最值即可.
解答】解:画出可行域(如图),设z=x﹣2yy=x﹣z,由图可知,当直线l经过点a(0,1)时,z最大,且最大值为zmax=0﹣2×1=﹣2.
故答案为:﹣2.
点评】本题主要考查线性规划的基本应用,利用目标函数的几何意义是解决问题的关键,利用数形结合是解决问题的基本方法.
8.(4分)方程3sinx=1+cos2x在区间[0,2π]上的解为或 .
分析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式,然后求解即可.
解答】解:方程3sinx=1+cos2x,可得3sinx=2﹣2sin2x,即2sin2x+3sinx﹣2=0.可得sinx=﹣2,(舍去)sinx=,x∈[0,2π]
解得x=或.
故答案为:或.
点评】本题考查三角方程的解法,恒等变换的应用,考查计算能力.
9.(4分)在(﹣)n的二项式中,所有的二项式系数之和为256,则常数项等于 112 .
分析】根据展开式中所有二项式系数的和等于2n=256,求得 n=8.在展开式的通项公式中,令x的幂指数等于0,求得r的值,即可求得展开式中的常数项.
解答】解:∵在(﹣)n的二项式中,所有的二项式系数之和为256,2n=256,解得n=8,(﹣8中,tr+1==,当=0,即r=2时,常数项为t3=(﹣2)2=112.
故答案为:112.
2024年上海市高考数学试卷
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