试题ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上。
1． 已知集合，则的子集个数为 ▲
答案】82． 设复数，（其中，为虚数单位）．若，则的值为 ▲
【答案】13． 运行如图所示的流程图，则输出的结果是 ▲
答案】4． 若直线是曲线。
的一条切线，则实数b的值是 ▲
【答案】05． 某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中。
的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为 ▲
【答案】 6． 设定义在区间上的函数的图象与图象的交点横坐标为，则的。
值为 ▲ 答案】
7． 已知一组数据，，，的方差为3，若数据，，，
的方差为12，则的值为 ▲
答案】8． 已知函数是定义在上偶函数，且在区间上单调递减，则不等式。
的解集为 ▲
答案】9． 我们知道，以正三角形的三边中点为顶点的三角形与原正三角形的面积之比为1：4，类比该命。
题得，以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原正四面体的体积之比为 ▲
答案】1：27
10．在平面直角坐标系，设双曲线的焦距为．当，任意变。
化时，的最大值是 ▲
答案】解析】因为，即，令得，故，利用不等式得（当且仅当时等号成立）；
11．在平面直角坐标系中，若直线l与圆c1：和圆c2：
都相切，且两个圆的圆心均在直线l的下方，则直线l的斜率为 ▲
答案】7解析】设两切点分别为a、b，连结ac1、bc2，过c1作c1dab交bc2于点d，得到直角。
三角形c1c2d，易得tan∠d c1c2 ，而∠xc1c2，所以tan∠d c1 x
tan7，即直线l的斜率是7；
12．观察下列一组关于非零实数，的等式：
a2b2(ab)(a＋b)，a3b3(ab)( a2＋ab＋b2)，a4b4(ab)( a3＋a2b＋ab2＋b3)，…
通过归纳推理，我们可以得到等式a2015b2015(ab)( x1＋x2＋x3＋…＋x2015)，其中x1，x2，x3，…，x2015构成一个有穷数列，则该数列的通项公式为xn ▲
结果用，，表示)
答案】xn．
解析】易得数列是以为首项，为公比的等比数列，所以xn．
13．已知角，满足．若，则的值为 ▲
答案】解析】设，即，①
又，即，②由①②得，两式相除得，解得．
14．在平面直角坐标系中，设，分别为曲线与轴的两个交点，分别为曲线上的两个动点，则的取值范围是 ▲
答案】解析】易得曲线为半圆：，不妨设，，当。
方向相反，且长度均为2时，；设点在上的投。
影点为，与交于点，且，则当为圆的切线时，（当且仅当时等号成立），所以．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证。
明过程或演算步骤．
15．（本题满分14分）
在平面直角坐标系中，已知a（0，0），b（4，3），若a、b、c三点按顺时针方向排列构成等边三角形，且直线bc与x轴交于点d.
1）求cos∠cad的值；
2）求点c的坐标．
解：（1）设∠bad，∠cad，因为，由三角函数的定义得，故，即cos∠bad=；（7分）
2）设点，由（1）知，
因为，所以，故点．（14分）
16．（本题满分14分）
如图，四棱柱中，平面平面，且．
（1）求证：平面；
2）求证：平面平面．
证明：（1）四棱柱中，因为平面，平面，所以平面；（6分）
2）因为平面平面，平面平面，平面，由知，所以平面，（10分）
又，故平面，（12分）
而平面，所以平面平面．（14分）
17．（本题满分14分）
如图，缉私船在a处测出某走私船在方位角为45°，距离为10海里的c处，并测得走私船正沿。
方位角165°的方向以9海里/时的速度沿直线方向航行．我缉私船立即以v 海里/时的速度沿直。
线方向前去截获．
1）若v，求缉私船的航向和截获走私船所需的时间；（参考结论：22°）
2）若缉私船有两种不同的航向均能成功截获走私船，求v的取值范围．
解：（1）设缉私船截获走私船所需的时间为 h，依题意，得°，在△abc中，由正弦定理，得，°，所以22°，从而方位角为45°°°3分)
在△中，由余弦定理得，°，当v时，解得（负值已舍），答：缉私船的航向约为方位角°，截获走私船所需时间为 h．(7分)
（2）由（1）知，°，即，令，因为缉私船有两种不同的航向均能成功截获走私船，所以关于的方程必有两不同的正实根，(11分)
所以。解得．(14分)
18．（本题满分16分）
在平面直角坐标系中，已知点为直线：上一点，过点作的垂线与以。
为直径的圆交于两点，．
1）若，求圆的方程；
2）求证：点始终在某定圆上；
3）是否存在一定点(异于点)，使得为常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）设，则圆的方程为，
直线的斜率为，又，所以的斜率为，从而的方程为，即，则圆心到直线的距离为，由，解得2，所以圆的方程为；（6分）
（2）设，由得，消去参数得，所以点的轨迹为圆，（10分）
（3）设点，（为常数），则，整理得，，（13分）
因为，所以，
从而解得或（舍去），所以存在定点，使得．（16分）
19．（本题满分16分）
已知函数(a>0，b，c)．
1）设．若，在处的切线过点(1，0)，求的值；
若，求在区间上的最大值；
2）设在，两处取得极值，求证：，不同时成立．
解：（1）当，时，若，则，从而，故在处的切线方程为 ，
将点(1，0)代入上式并整理得，解得或；（5分）
若，则由得，或，若，则，所以为上的增函数，从而的最大。
值为；（7分）
若，列表：所以的最大值为，综上，的最大值为；（10分）
（2）证明：假设存在实数a，b，c，使得与同时成立，不妨设，则，因为，（）为的两个极值点，所以(a>0)，因为时，，所以为区间上的减函数，从而，这与矛盾，故假设不成立，即不存在实数a，b，c，使得与同时成立．
16分)20．（本题满分16分）
已知有穷数列，对任意的正整数，都有。
成立．1）若是等差数列，且首项和公差相等，求证：是等比数列；
（2）若是等差数列，且是等比数列，求证：．
证明：（1）依题意，，且，（2分）
因为。所以（），
得，4分）
所以（），得，即（），6分）
中，令得，，即，所以，所以，从而，即证是等比数列；（8分）
2）因为是等比数列，不妨设公比为，因为。
所以（），得，即（），13分）
因为是等差数列，所以，此时（）且对也适合，所以．（16分）
试题ⅱ（附加题）
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