《微积分i》期末模拟试卷选解（2012级）
一、 选择题。
1、设，则与的零点个数分别为（ b ）
a、４个；３个 b、３个；２个； c、２个；１个； d、1个；0个。
2、设，则（ b ）
a、 b、 c、 ｄ
4、设。a、 b、 c、 d、
5、设，则（ a ）
a、 b、 c、 d、
6、设连续，下列等式错误的是（ b ）
a、 b、c、 d、
7、设函数在内可导，则是函数在内单调增加的（ c ）
a、充要条件， b、必要条件 c、充分条件 d、无关条件。
8、拉格朗日定理的条件：“函数在[a,b]上连续，在内可导”是结论。
的（ c ）
a、充要条件， b、必要条件 c、充分条件 d、无关条件。
二、填空题。
1、函数在上满足拉格朗日中值定理的点。
2、设的一个原函数为，则+c， -c .
三、求极限（每小题5分，共15分）
四、求不定积分（每小题6分，共18分）
3、 解：于是。
五、应用题。
1. 求函数的单调区间与极值、凹凸区间与拐点。
2、某商品的总成本函数为，则平均成本最低时的产量。
解1： 故平均成本最。
低时的产量为 q=100 .
解2： 故平均成本最低时的产量为 q=100 .
3、 某产品的需求函数，总成本函数为，厂商以最大利润为目标，求：厂商取得最大利润时产品的产量和单价。
解：用需求q 做自变量，则**函数为 p=40-4q . 利润函数及其导数分别为。
于是厂。商取得最大利润为 l(3)=44 时，产品的产量为q0=3，此时单价为p0=28.
4. 设某商品的需求函数为，求：
1）当时的边际需求，并说明其经济意义；
2）当时的需求**弹性，并说明其经济意义 ；
（3）当时若**下降2%，总收益将变化百分之几？是增加还是减少？
六、解答题。
1. 设若函数 y=f(x) 所表示的曲线在其横坐标 x 处的切线斜率为而且曲线过点原点，求曲线方程。
解：由题意得令 x=0 得 c=f(0)=0, 故。
所求曲线方程为
2. 已知在(-,上可导函数f(x)使得 f(x-π/3)=sinx, f(0)=0, 求f(x).
解：设 t= x-π/3, 则 x= t+π/3，f (t)=sin(t+π/3). 于是。
令 f(0)=0 得0=f(0)=－cos(π/3)+c=－1/2+c . 最后得f(x)=－cos(x+π/3)+1/2.
3. 已知在(-,上可导函数f(x)使得 f(1)=3，且3 f(x)+x f(x)≡0, 求f(3).
解：设f(x)= x3f(x) ,则
f (x)=3 x2f(x)+ x3f (x)= x2[3 f(x)+x f(x)]≡0.
于是存在常数 c 使得x3f(x)≡c . 令 x=1 得c=f(1)=3，故 x3f(x)=3. 令 x=3 得。
f(3)=1/9 .
七、证明题。
1．证明：当时，.
命题得证 .
2. 证明： arcsin(e-x/2)+ arccos(e-x/2)=π2 .
解：设f(x)=arcsin(e-x/2)+ arccos(e-x/2),
于是存在常数c使f(x)≡c. 令 x=0 得c=f(0)=arcsin(1/2)+ arccos(1/2)=π2，故。
arcsin(e-x/2)+ arccos(e-x/2)=π2 .
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