第一讲概率基础知识。
一、考试要求。
1. 掌握随机现象与事件的概念。
2. 熟悉事件的运算(对立事件、并、交与差)
3. 掌握概率是事件发生可能性大小的度量的概念。
二、主要考点。
事件的运算。
三、内容讲解。
一、事件与概率。
(一)随机现象。
在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。抛硬币、掷骰子是两个最简单的随机现象的例子。抛一枚硬币，可能出现正面，也可能出现反面，至于哪一面出现，事先并不知道。
又如掷一颗骰子，可能出现1点到6点中某一个，至于哪一点出现，事先也不知道。从这个定义中可以看出，随机现象有两个特点：
(1) 随机现象的结果至少有两个；
(2) 至于哪一个出现，事先并不知道。
只有一个结果的现象称为确定性现象。例如，太阳从东方出，同性电荷相斥，异性电荷相吸，向上抛一石子必然下落等。
例1.1-1 以下是随机现象的另外一些例子：
(1) 一天内进入某超市的顾客数；
(2) 一顾客在超市中购买的商品数；
(3) 一顾客在超市排队等候付款的时间；
(4) 一棵麦穗上长着的麦粒数；
(5) 新产品在未来市场的占有率；
(6) 一台电视机从开始使用到发生第一次故障的时间；
(7) 加工某机械轴的误差；
(8) 一罐午餐肉的重量。
可见，随机现象在质量管理中随处可见。
认识一个随机现象首先要知道它的一切可能发生的基本结果。这里的基本结果称为样本点，随机现象一切可能样本点的全体称为这个随机现象的样本空间，常记为 。
“抛一枚硬币”的样本空间 =;
“抛一颗骰子”的样本空间 =;
“一顾客在超市中购买商品件数”的样本空间 =;
“一台电视机从开始使用到发生第一次故障的时间”的样本空间 =;
“测量某物理量的误差 ”的样本空间 。
(二)随机事件。
随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件，常用大写字母a、b、c等表示。如在掷一颗骰子，“出现奇数点”是一个事件。他由1点、3点、5点共三个样本点组成，若记这个事件为a，则有a=。
同样“出现偶数点”是一个事件。他由2点、4点、6点共三个样本点组成，若记这个事件为b，则有b=。
1.随机事件的特征。
从随机事件的定义可见，事件有如下几个特征：
(1)任一事件a是相应样本空间中的一个子集。一般我们用维恩(venn)图表示。
(2)事件a发生当且仅当a中某一样本点发生。
(3)事件a的表示可用集合，也可用语言，但所用语言必须是准确无误的。
(4)任一样本空间都有一个最大子集，这个最大子集就是 ，它对应的事件称为必然事件，仍然用表示。比如掷一颗骰子，“出现点数不超过6”就是一个必然事件，因为它含有 =中所有样本点。
(5)任一样本空间都有一个最小子集，这个最小子集就是空集，它对应的事件称为不可能事件，记为 。
[例1.1-2] 若产品只区分合格与不合格，并记合格品为“0”，不合格品为“1”。则检查两件产品的样本空间由下列四个样本点组成。
其中样本点(0，1)表示第一件产品为合格品，第二件产品为不合格品，其他样本点可以类似解释。下面几个事件可用集合表示，也可以用语言表示。
a=“至少有一件合格品”=;
b=“至少有一件不合格品”=;
c=“恰好有一件合格品”=;
=“至多有两件合格品”=;
=“有三件不合格品”。
现在我们来考察“检查三件产品”这个随机现象，且合格品仍记为“0”，不合格品记为“1”。它的样本空间含有8= 个样本点。
下面几个事件可用集合表示，也可以用语言表示。
a=“至少有一件合格品”=;
b=“至少有一件不合格品”=;
c=“恰有一件不合格品”=;
d=“恰有两件不合格品”=;
e=“全是不合格品”=;
f=“没有不合格品”=。
2.随机事件之间的关系。
在一个随机现象中常会遇到许多事件，它们之间有下列三种关系。
(1)包含：在一个随机现象中有两个事件a与b，若事件a中任一个样本点必在事件b中，则称事件a被包含在事件b中，或事件b包含事件a，记为 ，如图1.1-2。
特别对任一事件a有 。
(2)互不相容：在一个随机现象中有两个事件a与b，若事件a与b没有相同的样本点，则称事件a与b互不相容。这时事件a与b不可能同时发生，如图1.1-3。
(3)相等：在一个随机现象中有两个事件a与b，若事件a与 b含有相同的样本点，则称事件a与b相等，记为a=b。若 ，则a=b;反之，如果a=b，则 。
图1.1-2
图1.1-3
(三)事件的运算。
1.事件的运算的分类。
事件的运算有下列四种。
(1)对立事件：在一个随机现象中， 是样本空间，a为事件，由属于而不属于a中的样本点组成的事件称为a的对立事件，记为 。如图1.
1-4。特别地，必然事件与不可能事件互为对立事件，即 。
图1.1—5
显然有： 图1.1—4
(2)事件的并：由事件a与b中所有的样本点(相同的只计入一次)组成的新事件称为a与b并，记为 。如图1.1-5。并事件发生意味着“事件a与b中至少有一个发生”。
显然有：①
③若 ，则 。特别地， 。
(3)事件的交：由事件a与b中公共的样本点组成的新事件称为事件a与b的交，记为或ab。如图1.1-6。交事件发生意味着“事件a与b同时发生”。
显然有：⑴
⑵若 ，特别地 ;
⑶若 。注：事件的交和并可推广到更多个事件的情形。
图1.1—7
图1.1—6
(4)事件的差：由属于事件a而不属于事件b的样本点组成的新事件称为a对b的差，记为a-b，表示事件a发生而事件b不发生的事件。如图1.
1-7。显然，b-a，表示b对a的差，一般 。
显然有：①不要求 ，才有 ，若 ;②若 ;
④ (证明： )
2.事件的运算性质。
事件的运算具有如下性质：
(1)交换律： ,
(2)结合律： ，
(3)分配律： ，4)对偶律： ，
以上性质都可用维恩图加以验证，这些性质都可推广到更多个事件运算上去。
[例1.1-3] 设a、b、c为任意三个事件，试用a、b、c的运算关系表示下列各事件：
①三个事件中至少一个发生 ②没有一个事件发生 (由对偶律)
③恰有一个事件发生 ④至多有两个事件发生(考虑其对立事件)
⑤至少有两个事件发生。
(四)概率。
所谓概率，就是事件发生可能性大小的度量。
虽然随机事件的发生与否是带有偶然性的，但是随机事件发生的可能性大小还是有大小之别的，是可以度量的。实际上，在生活、生产和经济活动中，人们也常关心一个随机事件发生的可能性大小。例如：
(1)抛一枚均匀的硬币，出现正面与出现反面的可能性各为1/2。
(2)某厂试制成功一种新止痛片，在未来市场的占有率可能有多高呢？
(3)购买彩券的中奖机会有多少呢？
上述问题中的正面出现的机会、市场占有率、中签率以及常见的不合格品率、命中率等都是用来度量随机事件发生的可能性大小。一个随机事件a发生的可能性的大小称为这个事件的概率，并用p(a)表示。显然，概率是一个介于0到1之间的数，因为可能性都是介于0%到100%之间的。
概率愈大，事件发生的可能性就愈大；概率愈小，事件发生的可能性就愈小。
特别地，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，即： ，
第二讲概率的古典定义与统计定义。
一、考试要求。
1. 熟悉概率的古典定义及其简单计算。
2. 掌握概率的统计定义。
3. 掌握概率的基本性质。
4. 掌握事件的互不相容性和概率的加法法则。
5. 掌握事件的独立性、条件概率和概率的乘法法则。
二、主要考点。
l 古典概率的计算。
l 条件概率运算。
l 独立性判断、互不相容的判断。
三、内容讲解。
二、古典概率的定义与统计定义。
确定一个事件的概率有几种方法，这里介绍其中两种最主要的方法，在历史上，这两种方法分别被称为概率的两种定义，即概率的古典定义及统计定义。
(一) 概率的古典定义。
用概率的古典定义确定概率的方法的要点如下：
(1)所涉及的随机现象只有有限个样本点，设共有n个样本点；
(2)每个样本点出现的可能性相同(等可能性);
(3)若被考察的事件a含有k个样本点，则事件a的概率为：
[例1.1-3] 掷两颗骰子，其样本点可用数组(x , y)表示，其中，x与y分别表示第一与第二颗骰子出现的点数。这一随机现象的样本空间为：
它共含36个样本点，并且每个样本点出现的可能性都相同。
(1) 定义事件a=“点数之和为2”=，它只含一个样本点，故p(a)=1/36。
(2) 定义事件b="点数之和为5"= 它含有4个样本点，故p(b)=4/36=1/9。
(3) 定义事件c="点数之和超过9"= 它含有6个样本点，故 p(c)=6/36=1/6。
(4) 定义事件d="点数之和大于3，而小于7"= 它含有12个样本点，故它的概率p(d)=12/36=1/3。
[例1.1—4] 从标号为1，2，…,10的10个同样大小的球中任取一个，求下列事件的概率：a:‘抽中2号’， b:‘抽中奇数号’， c:‘抽中的号数不小于7’。
中级质量专业理论与实务讲义
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