☆含an与sn 的递推
例1：()已知数列的前n项和为sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λsn－1，其中λ为常数。
1)证明：an＋2－an＝λ；
2)是否存在λ，使得为等差数列？并说明理由。
解：(1)证明：由题设，anan＋1＝λsn－1，an＋1an＋2＝λsn＋1－1，两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1，由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.
2)存在λ使得为等差数列，理由如下：
由题设a1＝1，a1a2＝λs1－1，可得a2＝λ－1，由(1)知a3＝λ＋1.
假设为等差数列，则a1，a2，a3成等差数列，∴a1＋a3＝2a2，解得λ＝4.
以下证明λ＝4时，为等差数列。
由an＋2－an＝4知，数列奇数项构成的数列是首项为1，公差为4的等差数列，a2m－1＝4m－3，令n＝2m－1，则m＝，∴an＝2n－1(n＝2m－1).
数列偶数项构成的数列是首项为3，公差为4的等差数列，a2m＝4m－1，m∈n*.
令n＝2m，则m＝，∴an＝2n－1(n＝2m).
an＝2n－1(n∈n*)，an＋1－an＝2. 因此，存在λ＝4，使得为等差数列。
例2：设数列的前n项和为sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝sn＋3n，n∈n*.
1)设bn＝sn－3n，求数列的通项公式；
2)若an＋1≥an，n∈n*，求a的取值范围．
解 (1)依题意，sn＋1－sn＝an＋1＝sn＋3n，即sn＋1＝2sn＋3n，由此得sn＋1－3n＋1＝2(sn－3n)，又s1－31＝a－3(a≠3)，故数列是首项为a－3，公比为2的等比数列，因此，所求通项公式为bn＝sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈n*.
2)由(1)知sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈n*，于是，当n≥2时，an＝sn－sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，当n＝1时，a1＝a不适合上式，故an＝
an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2＝2n－2，当n≥2时，an＋1≥an12·＋a－3≥0a≥－9.
又a2＝a1＋3>a1. 综上，所求的a的取值范围是[－9，＋∞
等比数列的判定。
例1：已知数列和满足：a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n∈n*.
1)对任意实数λ，证明数列不是等比数列；
2)试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论。
解：(1)证明：假设存在一个实数λ，使是等比数列 ，则有a＝a1·a3，即＝λλ2－4λ＋9＝λ2－4λ9＝0，矛盾。所以数列不是等比数列。
2)因为bn＝(－1)n(an－3n＋21)，bn＋1＝(－1)n＋1[an＋1－3(n＋1)＋21]＝(1)n＋1＝(－1)n＋1
(－1)n＋1(an－3n＋21)＝－bn.
又b1＝－(18)，所以当λ＝－18，b1＝0，易得bn＝0(n∈n*)，此时数列不是等比数列；
当λ≠－18，b1≠0，由上可知bn≠0，∴＝n∈n*)，此时数列是等比数列。
点拨：1)证明数列不是等比数列，只需举一个反例；(2)证明数列是等比数列，常用方法：①定义法；②等比中项法。
单调性与最值。
例1：已知数列中，an＝1＋(n∈n*，a∈r，且a≠0)．
1)若a＝－7，求数列的最大项和最小项的值；
2)若对任意的n∈n*，都有an≤a6成立，求实数a的取值范围．
解 (1)因为an＝1＋(n∈n*，a∈r，且a≠0)，又a＝－7，所以an＝1＋.
结合函数f(x)＝1＋的单调性，可知1＞a1＞a2＞a3＞a4，a5＞a6＞a7＞…＞an＞1(n∈n*)．
所以数列中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.
2)an＝1＋＝1＋.
因为对任意的n∈n*，都有an≤a6成立，结合函数f(x)＝1＋的单调性，所以5＜＜6，解得－10＜a＜－8.
故实数a的取值范围是(－10，－8)．
前n项绝对值和。
例1：()在公差为d的等差数列中，已知a1＝10，且a1，2a2＋2，5a3成等比数列。
1)求d，an；
2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…an|.
解：(1)由题意得a1×5a3＝(2a2＋2)2，即d2－3d－4＝0.故d＝－1或d＝4.
所以an＝－n＋11，n∈n*或an＝4n＋6，n∈n*.
2)设数列的前n项和为sn，因为d<0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11，则。
当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…an|＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝sn＝－n2＋n.
当n≥12时，s11＝55.
a1|＋|a2|＋|a3|＋…an|＝a1＋a2＋a3＋…＋a11－a12－a13－…－an＝2(a1＋a2＋a3＋…＋a11)－a1－a2－…－an＝2s11－sn＝n2－n＋110.
综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…an|＝
例2：在等比数列中，若a1＝，a4＝－4，则|a1|＋|a2|＋…an
解析设等比数列的公比为q，则a4＝a1q3，代入数据解得q3＝－8，所以q＝－2；等比数列的公比为|q|＝2，则|an|＝×2n－1，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…an|＝(1＋2＋22＋…＋2n－1)＝(2n－1)＝2n－1－.
裂项求和。例1：已知数列的前项和为，且。
1）求数列的通项公式；
2）设，求数列的前项和。
27分。———9分。
12分。方法点睛】裂项相消在使用过程中有一个很重要得特征，就是能把一个数列的每一项裂为两项的差，其本质就是两大类型类型一：型，通过拼凑法裂解成；类型二：
通过有理化、对数的运算法则、阶乘和组合数公式直接裂项型；该类型的特点是需要熟悉无理型的特征，对数的运算法则和阶乘和组合数公式。无理型的特征是，分母为等差数列的连续两项的开方和，形如型，常见的有①；②对数运算本身可以裂解；③阶乘和组合数公式型要重点掌握和。
例2：已知等差数列的公差为d，且an≠0，d≠0，则＋＋…可化简为( )
a. b. c. d.
解析 ∵＝原式。
(－)选b.
例3：()已知等差数列的前n项和sn满足s3＝0，s5＝－5.
1)求的通项公式；
2)求数列的前n项和。
解：(1)设的公差为d，则sn＝na1＋d.
由已知可得解得a1＝1，d＝－1.故的通项公式为an＝2－n.
2)由(1)知＝＝，从而数列的前n项和为[＋＋
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