1．是首项a1＝1，公差为d＝3的等差数列，如果an＝2 005，则序号n等于( )
解析：由题设，代入通项公式an＝a1＋(n－1)d，即2 005＝1＋3(n－1)，∴n＝699．
2．在各项都为正数的等比数列中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5＝
解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力．
设等比数列的公比为q(q＞0)，由题意得a1＋a2＋a3＝21，即a1(1＋q＋q2)＝21，又a1＝3，∴1＋q＋q2＝7．
解得q＝2或q＝－3(不合题意，舍去)，a3＋a4＋a5＝a1q2(1＋q＋q2)＝3×22×7＝84．
3．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则( b )．
a．a1a8＞a4a5 b．a1a8＜a4a5 c．a1＋a8＜a4＋a5 d．a1a8＝a4a5
解析：由a1＋a8＝a4＋a5，∴排除c．
又a1·a8＝a1(a1＋7d)＝a12＋7a1d，a4·a5＝(a1＋3d)(a1＋4d)＝a12＋7a1d ＋12d2＞a1·a8．
4．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则。
m－n｜等于( c )．
解法1：设a1＝，a2＝＋d，a3＝＋2d，a4＝＋3d，而方程x2－2x＋m＝0中两根之和为2，x2－2x＋n＝0中两根之和也为2，∴a1＋a2＋a3＋a4＝1＋6d＝4，d＝，a1＝，a4＝是一个方程的两个根，a1＝，a3＝是另一个方程的两个根．，分别为m或n，∴｜m－n｜＝，故选c．
f2：设方程的四个根为x1，x2，x3，x4，且x1＋x2＝x3＋x4＝2，x1·x2＝m，x3·x4＝n．
由等差数列的性质：若γ＋s＝p＋q，则aγ＋as＝ap＋aq，若设x1为第一项，x2必为第四项，则x2＝，于是可得等差数列为，，，m＝，n＝，∴m－n｜＝．
5．等比数列中，a2＝9，a5＝243，则的前4项和为∴s4＝＝＝120．
a2＝9，a5＝243，＝q3＝＝27， ∴q＝3，a1q＝9，a1＝3，6．若数列是等差数列，首项a1＞0，a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，则使前n项和sn＞0成立的最大自然数n是( )4 005 ．4 006 ．4 007 ．4 008
解法1：由a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，知a2 003和a2 004两项中有一正数一负数，又a1＞0，则公差为负数，否则各项总为正数，故a2 003＞a2 004，即a2 003＞0，a2 004＜0.
s4 006＝＝＞0，s4 007＝·(a1＋a4 007)＝·2a2 004＜0，故4 006为sn＞0的最大自然数。 选b．
解法2：由a1＞0，a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，同解法1的分析得a2 003＞0，a2 004＜0，s2 003为sn中的最大值．
sn是关于n的二次函数，如草图所示，2 003到对称轴的距离比2 004到对称轴的距离小，在对称轴的右侧．
根据已知条件及图象的对称性可得4 006在图象中右侧零点b的左侧，4 007，4 008都在其右侧，sn＞0的最大自然数是4 006．
7．已知等差数列的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列， 则a2＝－8＋2＝－6．
是等差数列，∴a3＝a1＋4，a4＝a1＋6，又由a1，a3，a4成等比数列，∴(a1＋4)2＝a1(a1＋6)，解得a1＝－8，8．设sn是等差数列的前n项和，若＝，则＝(
9．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则设d和q分别为公差和公比，则－4＝－1＋3d且－4＝(－1)q4，d＝－1，q2＝2，∴＝
10．在等差数列中，an≠0，an－1－＋an＋1＝0(n≥2)，若s2n－1＝38，则n＝( 10 )．
为等差数列，∴＝an－1＋an＋1，∴＝2an，又an≠0，an＝2，为常数数列，而an＝，即2n－1＝＝19，
11．设f(x)＝，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…f(0)＋…f(5)＋f(6)的值为。
f(x)＝，f(1－x)＝＝f(x)＋f(1－x)＝＋
设s＝f(－5)＋f(－4)＋…f(0)＋…f(5)＋f(6)，则s＝f(6)＋f(5)＋…f(0)＋…f(－4)＋f(－5)，2s＝[f(6)＋f(－5)]＋f(5)＋f(－4)]＋f(－5)＋f(6)]＝6，s＝f(－5)＋f(－4)＋…f(0)＋…f(5)＋f(6)＝3．
12．已知等比数列中，1)若a3·a4·a5＝8，则a2·a3·a4·a5·a6
由a3·a5＝，得a4＝2，∴a2·a3·a4·a5·a6＝＝32
2)若a1＋a2＝324，a3＋a4＝36，则a5＋a6
∴a5＋a6＝(a1＋a2)q4＝4．
3)若s4＝2，s8＝6，则a17＋a18＋a19＋a20
∴a17＋a18＋a19＋a20＝s4q16＝32．
14．在等差数列中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则此数列前13项之和为 .
a3＋a5＝2a4，a7＋a13＝2a10，∴6(a4＋a10)＝24，a4＋a10＝4，s13＝＝＝26
15．在等差数列中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋…＋a10＝－49
d＝a6－a5＝－5，∴a4＋a5＋…＋a10＝＝＝7(a5＋2d)
17．(1)已知数列的前n项和sn＝3n2－2n，求证数列成等差数列。
2)已知，，成等差数列，求证，，也成等差数列。
判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第2项开始每项与其前一项差为常数．
证明：（1）n＝1时，a1＝s1＝3－2＝1，当n≥2时，an＝sn－sn－1＝3n2－2n－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5，n＝1时，亦满足，∴an＝6n－5(n∈n*)．
首项a1＝1，an－an－1＝6n－5－[6(n－1)－5]＝6(常数)(n∈n*)，数列成等差数列且a1＝1，公差为6．
2）∵，成等差数列，∴＝化简得2ac＝b(a＋c)．
＝＝＝2·，∴也成等差数列。
18．设是公比为 q 的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列．
1)求q的值；
2)设是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为sn，当n≥2时，比较sn与bn的大小，并说明理由．
1）由题设2a3＝a1＋a2，即2a1q2＝a1＋a1q，a1≠0，∴2q2－q－1＝0，∴q＝1或－．
2）若q＝1，则sn＝2n＋＝．
当n≥2时，sn－bn＝sn－1＝＞0，故sn＞bn．
若q＝－，则sn＝2n＋ (
当n≥2时，sn－bn＝sn－1＝，故对于n∈n+，当2≤n≤9时，sn＞bn；当n＝10时，sn＝bn；当n≥11时，sn＜bn
19．数列的前n项和记为sn，已知a1＝1，an＋1＝sn(n＝1，2，3…)．
求证：数列{}是等比数列．
an＋1＝sn＋1－sn，an＋1＝sn，∴(n＋2)sn＝n(sn＋1－sn)，整理得nsn＋1＝2(n＋1) sn，所以＝．故{}是以2为公比的等比数列。
20．已知数列是首项为a且公比不等于1的等比数列，sn为其前n项和，a1，2a7，3a4成等差数列，求证：12s3，s6，s12－s6成等比数列。
证明：由a1，2a7，3a4成等差数列，得4a7＝a1＋3a4，即4 a1q6＝a1＋3a1q3，变形得(4q3＋1)(q3－1)＝0，∴q3＝－或q3＝1(舍)．
由＝＝＝1＝－1＝1＋q6－1＝；
得＝．∴12s3，s6，s12－s6成等比数列．
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