数列好题。
1．（本题满分14分）
甲、乙容器中有浓度为25%和75%的盐酸溶液各8克，从甲溶器往乙容器倒入4克溶液，摇匀后，再从乙容器往甲容器倒入4克溶液为一次操作，这样的操作反复进行．
求操作次后，甲容器与乙容器中的纯盐酸分别为多少克？
欲使甲容器中的溶液浓度大于48%，问至少操作多少次？
解：（1）设操作次后，甲、乙两容器中的纯盐酸分别为、克，则，……1分。
2分。又 ，…4分。
且，……5分。
6分。是首项为，公比为的等比数列，……8分， …10分。
2）依题意：，…11分。
或）……13分。
又为自然数，∴的最小值为3，故至少3次能达到要求．……14分。
2．（本小题满分12分）
从原点出发的某质点m，按向量a = 0，1) 移动的概率为，按向量b = 0，2) 移动的概率为，设m可到达点(0,n)的概率为pn.
(ⅰ)求p1 、p2和p3的值；
(ⅱ)设bn=pn+1-pn，求证：数列是等比数列；
(ⅲ)理）求数列的通项公式及pn.
解(ⅰ)p1= p33分。
ⅱ)证明：m到达点(0，n+2)有两种情况：
①从点(0，n+1)按向量a=(0，1)移动；②从点(0，n)按向量b=(0,2)移动。
故pn+2= ∴pn+2－pn+1即bn+1=-
所以是以p2-p1=为首项，以-为公比的等比数列7分。
ⅲ)∵bn=pn+1-pn=×(n-1=(-n+1,∴pn-pn-1=(-n,∴pn=(pn-pn-1)+(pn-1-pn-2)+…p2-p1)+p1
=(-n+(-n-1+…+2+=
故的通项公式为pn10分。
pn12分。
3．（本题满分14分）甲、乙容器中有浓度为25%和75%的盐酸溶液各8克，从甲溶器往乙容器倒入4克溶液，摇匀后，再从乙容器往甲容器倒入4克溶液为一次操作，这样的操作反复进行．
求操作次后，甲容器与乙容器中的纯盐酸分别为多少克？
欲使甲容器中的溶液浓度大于48%，问至少操作多少次？
解：（1）设操作次后，甲、乙两容器中的纯盐酸分别为、克，则，……1分。
………2分。
又 ，…4分。
且，……5分。
6分。是首项为，公比为的等比数列，……8分， …10分。
2）依题意：，…11分。
或）……13分。
又为自然数，∴的最小值为3，故至少3次能达到要求．……14分。
4．（理）等差数列中，首项，公差，已知数列成等比数列，其中。
1）求数列的通项公式；
2）当时，求证：。
解：（1），3分。
又等比数列中，公比，所以，6分。
2）（理）证明： ，时，时9分。
记，则，相减得到：，所以13分。
所以。14分。
5．（本小题满分12分）
已知，且。（1）求，的表达式，猜想的表达式并用数学归纳法证明；
（2）若关于的函数在区间（-，1]上的最小值为12，求的值。
解：（1）∵，猜想 3分。
证明：当时，成立；
假设时，表达式成立，即，则当时，
当时，表达式成立。
由得对任意5分。
2）∵，7分。
当即时，函数在区间（-,1]上是减函数。
当时，即，又，∴该方程没有整数解9分。
当，即时， ，解得或（舍去）
综上所述，为所求的值12分。
6．（本小题满分14分）
设数列是首项为6，公差为1的等差数列；为数列的前项和，且。
（1）求及的通项公式和；
（2）若，问是否存在使成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
（3）若对任意的正整数，不等式恒成立，求正数的取值范围。
解：（11分。
又当时， 当时，
上式对也成立，总之4分。
2）由已知∴当为奇数时，为偶数，由，得，（舍去6分。
当为偶数时，为奇数，由，得，即，∴适合题意。
总之，存在整数，使结论成立8分。
3）将不等式变形并把代入得：
设。又∵，即。
随的增大而增大，8．（本题满分14分）设不等式组所表示的平面区域为，记内的整点个数为，（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）
求数列的通项公式；
设数列的前项和为，，，若对于一切正整数，恒成立，求实数的起值范围。
解：（1） 由，得， 当时，，时，
即6分。 （2） 易求，由（1）知
9分 恒成立 (也可以用倒序相加法求和)
记，则。时，，而。
为最大， 故的取值范围是14分。
9．（理）等差数列中，首项，公差，已知数列成等比数列，其中。
1）求数列的通项公式；
2）当时，求证：。
解：（1），3分。
又等比数列中，公比，所以，6分。
2）（理）证明： ，时，时9分。
记，则，相减得到：，所以13分。
所以。14分。
10．（本小题满分12分）已知。
（ⅰ）求的表达式；
（ⅱ）定义正数数列，数列是等比数列；
（ⅲ）令成立的最小n值。
解：（ⅰ1分。
3分。4分。5分。
7分。数列是以2为首项，……8分。
10分。又。
满足12分。
11．（本题满分14分）已知正项数列 满足a1 = 1，当n≥2时，都有．
ⅰ）试求数列 的通项公式；
ⅱ）设，…，试比较与的大小．
解：(ⅰ当n≥2时，由已知式子，得 an [ an－（2n－1）] an－1（a n－1 + 2n－1），整理，得 an 2－an－12 =（2n－1）（an + a n－1）．
因为 是正项数列，所以 an + a n－1 ≠0，故只有 an = an－1 + 2n－1． …2分。
于是，当n≥2时， a2 = a1 + 2×1，a3 = a2 + 2×1，…
an = an－1 + 2n－1，上面n－1个式子相加得 an－a1 = 2（2 + 3 + n）－（n－1），解得 an = n2．
又当 n = 1时，a1 = 1满足上式，故an = n2． …5分。
ⅱ），7分。
当n = 1时，；当n = 2时，；当n = 3时，； 猜想当n≥3时9分。
以下用数学归纳法证明：
当n = 3时，左边右边，命题成立．
假设当n = k（k≥3）时，，即．
当n = k + 1时，（因为。
k + 2）2 ＜3 k（k + 3） 2k2－4k + 5＞0 2（k－1）2 + 3＞0），命题成立．
故当n≥3时，．
综上所述，当n = 1时，，n = 2时，，当n≥3时，． 14分。
12．（本题满分13分）函数的最小值为且数列的前项和为．
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）若数列是等差数列，且，求非零常数；
（ⅲ）若，求数列的最大项．
解：（ⅰ由，
由题意知：的两根，（ⅱ
为等差数列，，，
经检验时，是等差数列，
13．（本题满分14分）
已知数列、、的通项公式满足，（）若数列是一个非零常数列，则称数列是一阶等差数列；若数列是一个非零常数列，则称数列是二阶等差数列。
(ⅰ)试写出满足条件、、的二阶等差数列的前五项；
（ⅱ）求满足条件（1）的二阶等差数列的通项公式；
ⅲ）若数列首项，且满足， 求数列的通项公式。
解4分。ⅱ） 依题意。
所以。6分。又 所以。
8分。ⅲ）由已知，可得。
即 ，10分。
解法一：整理得12分。
因而数列是首项为，公比为4的等比数列，
即14分。解法二： 在等式两边同时除以得：
11分。令，则，即。
故数列是首项为，公比为的等比数列12分。
所以，即。14分。
解法三： ∵
猜想12分。
下面用数学归纳法证明如下：
ⅰ）当时，，猜想成立；
假设时，猜想成立，即
那么当时，结论也成立。
由(ⅰ)可知14分。
数列解答题集锦
三 解答题 本大题共5小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤。1.本题满分14分，第1小题4分，第2小题5分，第3小题5分 已知函数的图象关于点对称。求实数的值 若数列，满足，求数列的通项公式 记若恒成立，求的最小值。解 的图象关于点对称，4分。又，化简得...
数列解答题 答题
数列解答题答题模板。一 数列通项的求法。由sn求an 已知数列的前n项和sn，根据下列条件分别求它们的通项an.1 sn 2n2 3n 2 sn 3n 1.解析 1 由题可知，当n 2时，an sn sn 1 2n2 3n 2 n 1 2 3 n 1 4n 1.当n 1时，当n 1时，a1 s1 2...
数列解答题
1 是首项a1 1，公差为d 3的等差数列，如果an 2 005，则序号n等于 解析 由题设，代入通项公式an a1 n 1 d，即2 005 1 3 n 1 n 699 2 在各项都为正数的等比数列中，首项a1 3，前三项和为21，则a3 a4 a5 解析 本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算...