一．基本原理。
1．加法原理：做一件事有n类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一。
1.公式：1.
三．组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 cn 。
1. 公式：
若。四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。
2．解排列、组合题的基本策略。
1）两种思路：①直接法；
间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。
2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注意：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。
3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。其原则是先分类，后分步。
4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法。
3．排列应用题：
1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑；
3）．相邻问题：捆邦法：
对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“**”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。
4）、全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法。即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。
5）、顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插。
解法一：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排，再除以定序元素的全排列。
解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩余的几个位置放定序的元素，若定序元素要求从左到右或从右到左排列，则只有1种排法；若不要求，则有2种排法；
6）“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略
对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列。
7）分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。
8）．数字问题（组成无重复数字的整数）
能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数。②能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数；
能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数。 ⑤能被5整除的数的特征：末位数是0或5。
能被25整除的数的特征：末两位数是25，50，75。 ⑦能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数。
4．组合应用题：（1）.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法： （2）． 含”与“不含” 用间接排除法或分类法：
3．分组问题：
均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘。即除法处理。
非均匀分组：分步取，得组合数相乘。即组合处理。
混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。
4．分配问题：
定额分配：（指定到具体位置）即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘。
随机分配：（不指定到具体位置）即不固定位置但固定人数，先分组再排列，先组合分堆后排，注意平均分堆除以均匀分组组数的阶乘。
5．隔板法： 不可分辨的球即相同元素分组问题。
例1.电视台连续**6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须**公益广告，则共有种不同的**方式（结果用数值表示）.
解：分二步：首尾必须**公益广告的有a22种；中间4个为不同的商业广告有a44种，从而应当填 a22·a44＝48. 从而应填48．
例3.6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法？
解一：间接法：即。
解二：（1）分类求解：按甲排与不排在最右端分类。
1) 甲排在最右端时，有种排法； (2) 甲不排在最右端（甲不排在最左端）时，则甲有种排法，乙有种排法，其他人有种排法，共有种排法，分类相加得共有+=504种排法。
例。有4个男生，3个女生，高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？
分析一：先在7个位置上任取4个位置排男生，有a种排法。剩余的3个位置排女生，因要求“从矮到高”，只有1种排法，故共有a·1=840种。
1.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有。
解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有种，选。
解析2：至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有台，选。
2．从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛（1）如果4人中男生和女生各选2人，有种选法； （2）如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有种选法； （3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有种选法； （4）如果4人中必须既有男生又有女生，有种选法。
分析：本题考查利用种数公式解答与组合相关的问题。由于选出的人没有地位的差异，所以是组合问题。
解：（1）先从男生中选2人，有种选法，再从女生中选2人，有种选法，所以共有=60（种）；
2）除去甲、乙之外，其余2人可以从剩下的7人中任意选择，所以共有=21（种）；
3）在9人选4人的选法中，把甲和乙都不在内的去掉，得到符合条件的选法数：=91（种）；
直接法，则可分为3类：只含甲；只含乙；同时含甲和乙，得到符合条件的方法数=91（种）.
4）在9人选4人的选法中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数=120（种）.
直接法：分别按照含男生人分类，得到符合条件的选法为=120（种）.
1．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为( )
a．40 b．50 c．60 d．70
[解析] 先分组再排列，一组2人一组4人有c＝15种不同的分法；两组各3人共有＝10种不同的分法，所以乘车方法数为25×2＝50，故选b.
2．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )
a．36种b．48种 c．72种d．96种。
[解析] 恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共aa＝72种排法，故选c.
3．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( )
a．6个b．9个 c．18个d．36个。
[解析] 注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有c＝3(种)选法，即1231,1232,1233，而每种选择有a×c＝6(种)排法，所以共有3×6＝18(种)情况，即这样的四位数有18个．
4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有( )
a．2人或3人 b．3人或4人 c．3人 d．4人。
[解析] 设男生有n人，则女生有(8－n)人，由题意可得cc＝30，解得n＝5或n＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．
5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有( )
a．45种b．36种 c．28种d．25种。
[解析] 因为10÷8的余数为2，故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么共有c＝28种走法．
6．某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有( )
a．24种b．36种 c．38种d．108种。
[解析] 本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有c种分法，然后再分到两部门去共有ca种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由于是每个部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有c种方法，由分步乘法计数原理共有2cac＝36(种)．
7．已知集合a＝，b＝，c＝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( )
a．33b．34 c．35d．36
[解析] ①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有c·a＝12个；
所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有c·a＋a＝18个；
所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有c＝3个．
故共有符合条件的点的个数为12＋18＋3＝33个，故选a.
8．由组成没有重复数字且都不与5相邻的六位偶数的个数是( )
a．72b．96 c．108d．144
[解析] 分两类：若1与3相邻，有a·caa＝72(个)，若1与3不相邻有a·a＝36(个)
故共有72＋36＝108个．