染色和覆盖。
同步巩固演练]
1、 某影院有座位31排，每排29个座。某天放映了两场电影，每个座位上都坐了一个观众。如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他（前、后、左、右）相邻的某一观众交换座位，这样能办到吗？
为什么？
2、（北京市第12届小学生迎春杯决赛试题）
如图，把a、b、c、d、e这五部分用四种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色。那么，这幅图一共有种不同的着色方法。
4、 下图，是一所房子的示意图，图中数字表示房间号码，每间房子都与隔壁的房间相通。问能否从1号房间开始，不重复的走遍所有房间又回到1号房间？
5、 如图，由22块1×1的小正方形拼成，能不能用若干个2×1的矩形将这个图形不重复地全部覆盖？
能力拓展平台]
1、 有一个5×5的方格棋盘，如图所示，每一个小方格中有一只小甲虫，假设在同一时刻，所有小甲虫都爬到邻格中（横向与纵向的格，不能斜爬），问此时能否会出现空格？
2、 一个8×8国际象棋盘去掉对角上两格后，是否可以用31个2×1的“骨牌”，把象棋盘上的62个小格完全盖住？
3、 至少需要几种颜色，才能使右图中所有具有公共端点的线段涂上不同的颜色。
4、 现有1，1，2，2，3，3，……10，10共20个数。问能否将这些数排一行并满足两个1之间有一个数，两个2之间有两个数，两个3之间有三个数，……两个10之间有十个数？请说明理由。
5、 下图是由14个方格组成的图形，试证明，不论怎么裁剪，总不能把它剪成7个由相邻两个方格组成的长方形。
全讲综合训练]
1、 六（1）班同学毕业前，互相交换**留念，那么全班用来交换的**的总张数是奇数还是偶数？
2、 正方形的展览厅如下图，共分16个展室，每个展室之间相通，你能不能设计出一条线路使参观的人不重复地走完全部展室？
3、将上题的入口改在a处，如下图，这条线路可能吗？
4、 把下图中的圆图任意涂上红色或蓝色。有没有可能使每一条直线上的红圈数都是奇数？请说明理由？
5、 由14个1×1的正方形组成下图，用7个1×2的长方形能不能把这个图形都盖住？为什么？
6、 在黑板上写出三个自然数，然后擦去一个数，换成其它两数的和减1，这样一直进行下去，最后黑板上是，问原来的三个数能否是8？
7、 一串数排成一行，它们的规律是前两个数都是1，从第三个数起，每个数都是前两个数的和，如下所示：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…这串数的前100个数（包括第100个数）中，有多少个偶数？
8、象棋有棋盘上有一只马（马走“日”），跳了若干次，正次跳回到原来的位置，问马跳的步数是奇数还是偶数？
9、有一批商品，每件都是长方体形状，它的尺寸是1×2×4。现在有一批现成木箱，尺寸是6×6×6。试问：能不能用这样的商品将木箱填满？
10、能不能用8张1×3的长方形纸片完全盖住下面的图。
11、中国象棋的马走“日”字，车走横线或竖线，下图是半张中国象棋盘，试回答下面的问题：一只车从位置a出发，在这半张棋盘上走，每步走一格，走了若干步后到了位置b，证明：至少有一个格点没被走过或被走了不止一次。
12、在88的网格正方形中，用图形由三个的正方形组成的“”角片来覆盖，要求角片的割线落在正方形的网格线上。为使所余部分不能再放下角片形状的图形，最少需要用角片的图形多少个？
13、下图中的16个点表示16个城市，两个点之间的连线表示这两个城市有公路相通。问能否找到一条不重复地走遍这16座城市的路线？
14、在下图中，对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加1或减1算作一次操作，经过若干次操作后变为右下图，问：右下图中a格的数字是几，为什么？
15、有一个院子原来铺有40块方砖（如图），它们已经破损，需要全部更新，但是商店只有长方砖，每块大小等于方砖的两块，院主买了20块长方砖回来，想不割开任何一块长方砖而把院子铺满，问：能否做到？
16、把三行七列的21个小格组成的矩形染色，每个小格染上红、蓝两种色中的一种。求证：总可以找到4个同色小方格，处于某个矩形的4个角上。
17、如下左图是一个国际象棋棋盘，a处有只蚂蚁，蚂蚁只能由黑格进入白格再由白格进入黑格这样黑白交替地行走，已经走过的格子不能第二次进入，请问，蚂蚁能否从a出发，经过每个格子最后返回到a处？若能，请你设计一种路线，若不能，请你说明理由。
18、一种骨牌是由形如■□的一黑一白两个正方形组成，则下图中哪个棋盘不能用这种骨牌不重复地完全覆盖？
a）3×4 （b）3×5 （c）4×4
d）4×5 （e）6×3
19、（武汉市小学数学竞赛试题）
下面是俄罗斯方块中的七个图形；
请你用它们拼出（a）图，再用它们拼出（b）图（每块只能用一次，并且不能翻过来用）。如果能拼出来，就在图形上画出拼法，并写明七个图形的编号；如果不能拼出来，就说明理由。
20、在8×8的黑白相间染色的国际象棋棋盘中，以网格线为边的，恰包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形共有多少个？
染色和覆盖参***。
同步巩固演练]
1、 把影院的座位图画成黑白相间的矩形。（29×31），共有899个小方格。假定四角为黑格，则共有黑格450个，白格499个。
根据题意每一黑白格必须互换，因黑白格的总数不相等。因此是不可能的。
2、 96秒。
4×3×2×2×2=96（种）
3、 不能。
将编号为奇数的房间染成黑色，编号为偶数的房间染成白色。从1号房间出发，只能按黑→白→黑→白→……的次序，当走遍九个房间时应在黑色房间中，这个房间不与1号房间相邻，故不能不重复地走遍所有房间又回到1号房间。
4、能。能力拓展平台]
1、 能。分析初看这个总是似乎无从下手，但如果我们利用“染色”的手段，就会使问题简化，很轻松地得到正确答案。
将5×5棋盘用黑白两种颜色相间染色，如图所示，此时共有黑格13个，白色格12个。当每个小格中的甲虫同时爬向邻格时，即黑格中的甲虫爬到白格中，白格中的甲虫爬到黑格中，由于黑格比白格多一格，则原来白格中的甲虫爬到黑格后必空一格，所以该题的答案是肯定的。
2、 不能。
31个这样的骨牌恰好盖住31个黑格和31个白格。但是国际象棋棋盘上对角两格的颜色是相同的，把它们去掉后剩下的是30个白格，32个黑格，或32个白格，30个黑格，因此不能盖住。
3、 4种。
4、 不能。
两奇数之间要有奇数个数，说明两奇数所占的位置应为染色后颜色相同的两个位置。同理，两偶数之间要有偶数个数，则两偶数所占的位置应为不同色的两个位置。这样共需15个白色和5个黑色位置或15个黑色和5个白色位置。
与黑、白色位置各占10个相矛盾。
5、证明如下：
将方格染色，白格6个，黑格8个，由相邻两个方块拼成的长方形中必是一黑一白，因此无法使黑格与白格全配对，即原图不能剪成由7个相邻两格组成的长方形。
[全讲综合训练]
1、 偶数。
2、 不能。
3、 能。4、 不能。
如果每条直线上的红圈数是奇数，则五条线上红圈个数总和是奇数；但由于每个圆圈是两条直线的交点，则每个圆圈都计算两次，因此，每个红圈都计算两次，总数应是偶数。因为奇数≠偶数，所以每条直线上红圈数不可能都是奇数。
5、 不能。
黑白相间染色，有8个黑格，6个白格，用1×2，形如的长方形覆盖，每次可盖住一黑格一白格，但现在黑、白数不等，所以不能用1×2的长方形把原图盖住。
6、 不可能。
7、 33个。
8、 偶数。
把棋盘交点处按黑、白色染色，马从黑点出发，一定跳到白点，从白点出发一定跳到黑点，落点依次为白、黑、白、黑……，要跳回原出发点，必须跳偶数步。
9、 不能。
这道题不能简单地理解为木箱的容积除以商品的体积，如果商是整数且没有余数，就能用商品将木箱填满。现在木箱容积是6×6×6=216，商品的体积是1×2×4=8，216÷8=27，如果说每个木箱正好装27件商品，那就错了，实际上27件商品是无法全部装入木箱的。我们用染色法来验证这个结论。
先把6×6×6的木箱分成216个1×1×1的小正方体，接着将8个1×1×1的小正方体组成一个2×2×2的正方体。整个木箱有27个这样的正方体。将这些棱长为2的正方体黑白相间的涂上颜色，如图所示，黑的有14个，白的有13个。
将商品放入木箱，不管怎么放，每件商品必须填充8个棱长为1的小正方体的空间。其中黑、白必须各是4个。现在白色的小正方体是8×13=104（个），配上104个黑色的小正方体，正好放入2×13=26（件）商品，这时木箱还余下8×（14－13）=8（个）黑色小正方体所占的空间。
8个黑色小正方体的体积虽然与一件商品的体积相等，但是木箱中余下的8个小黑色正方体所占的空间无论如何是容纳不下一件商品的。
10、 不能。
11、 车”每一步，所在的格点就会改变一次颜色，因a、b两点异色，故从a到b“车”走的步数是一个奇数。但半张棋盘共有45个格点，不重复地走遍半张棋盘要44步，44是一个偶数。
12、 11个。
13、 不能。
对这16个城市进行黑白相间的染色，一种颜色有9个，另一种颜色有7个，而要不重复地走遍这16个城市，黑色与白色的个数应该相等。
原因如下：无论经过多少次操作，黑格中的数之和与白格中的数的和的差总是一个常数。即。
7+a）－8=8，解得a=9。
15、 不可能。
16、 在第一行的7格中必有4格同色，设这4格位于前4个位置，且均为红色。然后考虑前4列构成的3×4矩形。若第二行和第三行**现2个或2个以上的红色格子。
则该行的两个红色格子与第一行的红色格子就组成一个4角同为红色格子的矩形。
若不然，则第。
二、三行中都至少有3个蓝格在前4列中，设第二行前3格为蓝色，显然第三行中的前3格中至少有2个蓝格，故在。
二、三行的前4列中必存在四角都是蓝色的矩形。
17、这种爬行路线是存在的。具体的设计一条，如右图所示。
18、通过试验，很容易看到，应选择签字（b）。
19、不能拼出（a）图，可以拼出（b）图，拼法如右图。
个。染色后，由于黑白染色具有对称性，不难求出棋盘中共有1×3的长方形2×6×8=96个，这96个长方形中，包含两个白色小方格和一个黑色小方格的长方形恰占一半，为96÷2=48个。
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