第一讲 “数”学。
一、整数的性质。
1、整数的分拆，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆。
2、整数的守恒——若干个整数的和、差、乘积都是整数。
3、连续整数的性质：
若a、b、c、d、e为连续整数则有。
b－a＝c－b＝d－c＝e－d＝1；a＋e＝b＋d＝2c；a＋b＋c＋d＋e＝5c
二、数的整除。
内容提要：如果整数a除以整数b(b≠0)所得的商a/b是整数，那么叫做a被b整除。 0能被所有非零的整数整除。
1、一些数的整除特征。
2、在有余数的除法中，被除数＝除数×商数＋余数。
三、倍数与约数。
1．两个整数a和b（b≠0），如果b能整除a（记作b｜a），那么a叫做b的倍数，b叫做a的约数。
例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。
2．因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。
如0是7的倍数，7是0的约数。
3．整数a（a≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±a，±2a，……都是a的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……
4．整数a（a≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±a。
例如6的约数是±1，±2，±3，±6。
5．通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最大的公约数。
例如12和15的最大公约数是3，最小公倍数是60
6．公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。
四、质数与合数。
1、质数的定义：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）。
2、合数的定义：一个正整数除了能被1和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数。
3、 根椐质数定义可知。
1) 质数只有1和本身两个正约数，
2) 质数中只有一个偶数2
五、零的特性。
1、零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数。
2、零是自然数，是整数，是偶数。
3、零是表示具有相反意义的量的基准数。
例如：海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高。
收支衡可记作结存0元。
4、零是判定正、负数的界限。
若a ＞0则a是正数，反过来也成立，若a是正数，则 a＞0
a＞0 a是正数。
b<0 b 是负数。
c≥0 c是非负数（即c不是负数，而是正数或0）
d0 d是非正数 (即d不是正数，而是负数或0)
e0 e不是0 （即e不是0，而是负数或正数）
5、在一切非负数中有一个最小值是0。
例如绝对值、平方数都是非负数，它们的最小值都是0。
记作：|a|≥0，当a=0时，｜a｜的值最小，是0，a2≥0，a2有最小值0（当a=0时）。
6、在一切非正数中有一个最大值是0。
例如 －|x|≤0，当x＝0时，－|x|值最大，是0，（∵x≠0时都是负数），－x－2）20，当x＝2时，－（x－2）2的值最大，是0。
7、零具有独特的运算性质。
乘方：零的正整数次幂都是零。
除法：零除以任何不等于零的数都得零；零不能作除数。从而推出，0没有倒数，分数的分母不能是0。
乘法：零乘以任何数都得零。反过来，如果a×b=0,那么a、b中至少有一个是0。
加法：互为相反数的两个数相加得零。反过来也成立。即a、b互为相反数a+b=0
减法：两个数a和b的大小关系可以用它们的差的正负来判定，若a-b=0,则a=b；若a-b＞0,则a＞b；若a-b＜0,则a＜b。
反过来也成立，当a=b时，a-b=0；当a>b时，a-b>0；当a8、在近似数中，当0作为有效数字时，它表示不同的精确度。
例如近似数1.6米与1.60米不同，前者表示精确到0.
1米（即1分米）,误差不超过5厘米； 后者表示精确到0.01米（即1厘米），误差不超过5毫米。可用不等式表示其值范围如下：
1.55近似数1.6<1.65 1.595≤近似数1.60<1605
六、奇数与偶数。
通常我们所说的“单数”、“双数”，也就是奇数和偶数，即±1，±3，±5，…是奇数，0，±2，±4，±6，…是偶数．
用整除的术语来说就是：能被2整除的整数是偶数，不能被2整除的整数是奇数．通常奇数可以表示为2k+1(或2k-1)的形式，其中k为整数，偶数可以表示为2k的形式，其中k是整数．
奇数和偶数有以下基本性质：
性质1 奇数≠偶数．
性质2 奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数．
性质3 奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数．
性质4 奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数；任意有限个偶数之和为偶数．
性质5 若干个奇数的乘积是奇数，偶数与整数的乘积是偶数．
性质6 如果若干个整数的乘积是奇数，那么其中每一个因子都是奇数；如果若干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个因子是偶数．
性质7 如果两个整数的和(或差)是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；如果两个整数的和(或差)是奇数，那么这两个整数一定是一奇一偶．
性质8 两个整数的和与差的奇偶性相同．
性质9 奇数的平方除以8余1，偶数的平方是4的倍数。
七、用字母表示数。
1， 用字母表示数最明显的好处是能把数量间的关系简明而普遍地表达出来，从具体的数字计算到用抽象的字母概括运算规律上，是一种飞跃。
2， 用字母表示数时，字母所取的值，应使代数式有意义，并使它所表示的实际问题有意义。
例如①写出数a的倒数 ②用字母表示一切偶数。
解：①当a≠0时， a的倒数是。
②设n为整数， 2n可表示所有偶数。
3， 命题中的字母，一般要注明取值范围，在没有说明的情况下，它表示所学过的数，并且能使题设有意义。
例1化简：⑴｜x －3｜（x<3）②|x+5|
解：①∵x<3,∴x－3<0，｜x－3｜＝－x－3）＝－x＋3
当x≥－5时，｜x＋5｜＝x＋5，当x <－5时，｜x＋5｜＝－x－5（本题x 表示所有学过的数）
例2己知十位上的数是a,个位数是b ,试写出这个两位数。
解：这个两位数是10a+b(本题字母a、b的取值是默认题设有意义，即a 表示1到9的整数，b表示0到9的整数)
4， 用字母等式表示运算定律、性质、法则、公式时，一般左边作为题设，所用的字母是使左边代数式有意义的，所以只对变形到右边所增加的字母的取值加以说明。
例如用字母表示：①分数的基本性质 ②分数除法法则。
解：①分数的基本性质是(m≠0)， m≠0)
a作为左边的分母不另说明a≠0，(d≠0) d在左边是分子到了右边变分母，故另加说明。
5， 用字母等式表示运算定律、性质、法则、公式，不仅可从左到右顺用，还可从右到左逆用；公式可以变形，变形时字母取值范围有变化时应加说明。例如：
乘法分配律，顺用a(b+c)=ab+ac；逆用5a+5b=5(a+b),路程s=速度v×时间t， v= (t≠0)， t= (v≠0)
6， 用因果关系表示的性质、法则，一般不能逆用。
例如：加法的符号法则如果a>0，b>0， 那么 a+b>0，不可逆。
绝对值性质如果a>0,那么|a|=a 也不可逆(若|a|=a则a≥0)
7， 有规律的计算，常可用字母表示其结果，或概括成公式。
第一讲例题。
例1 电视台要**一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？
分析与解：由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天**的集数应尽可能地少。
我们知道，1+2+3+4+5+6+7=28。如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出。由于已有过一天播出2集的情形，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。
例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以。
所以最多可以播7天。
例2 求满足下列条件的最小自然数：它既可以表示为9个连续自然数之和，又可以表示为10个连续自然数之和，还可以表示为11个连续自然数之和。
解：9个连续自然数之和是其中第5个数的9倍，10个连续自然数之和是其中第5个数和第6个数之和的5倍，11个连续自然数之和是其中第6个数的11倍。这样，可以表示为9个、10个、11个连续自然数之和的数必是5，9和11的倍数，故最小的这样的数是［5，9，11］=495。
对495进行分拆可利用平均数，采取“以平均数为中心，向两边推进的方法”。例如，495÷10=49.5，则10个连续的自然数为。
于是495=45+46+…+54。同理可得495=51+52+…+59=40+41+…+50。
例3 把11分拆成两个自然数的和，再求出这两个自然数的积，要使这个积最大，应该如何分拆？
分析与解：把11分拆成两个自然数的和，当不考虑加数的顺序时，有1+10，2+9，3+8，4+7，5+6五种方法。它们的乘积分别是。
显然，把11分拆成5+6时，有最大的积5×6=30。
例4已知两个三位数和的和仍是三位数且能被9整除。
求x,y解：x,y都是0到9的整数，∵能被9整除，∴y=6.
328＋＝567，∴x=3
例5己知五位数能被12整除， 求x
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