班级姓名。一、 选择题（每小题5分，共60分）
1．两条直异面线所成角的取值范围是（ ）
a b c d
答案：b2．空间四边形各边及对角线相等，若分别为sc，ab中点，则异面直线ef与sa所成的角为（ ）
abcd 答案：c，补成正方体易得。
3．e,f分别是正方形abcd中ab，bc中点，沿de,df把ade， cdf和bef折起，使a、b、c三点重合于点p，则有（ ）
a b c d
答案：a，pdpe, pdpf pdpef
4．a表示点，表示直线，表示平面，下列命题的逆命题不成立的是（ ）
a b c
d 答案：c，c的逆命题为m ，若m n，，则n, ,反例如n，或与m异面。
5．在下列条件中使m与a,b,c一定共面的是（ ）
a b cd
答案：c，,在同一平面内，从而m,a,b,c四点共面。
6．，则在上的射影的长度是（ ）
a b cd
答案：b，，从而在上的投影是=
7．一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面，则这两个二面角大小关系是（ ）
a 相等 b 互补 c 相等或互补d 不确定。
答案：d，门所在平面与北墙所在平面构成的二面角和西墙与地面所构成的二面角的两个半平面垂直，当门转动时，可说明。
8．设有直线m,n，平面，则下列命题中正确的是（ ）
ab cd
答案：d，，
9．pa垂直于正方形abcd所在平面，连结pb，pc，pd，ac，bd，则一定互相垂直的平面有（ ）
a 8对 b 7对 c 6对d 5对。
答案：b，pabpad , pababcd , pacabcd , padabcd , pbcpab,pdcpad , pbdpac
10．三个平面两两垂直，它们的交线交于一点o，空间一点p到这三个平面的距离之比为1:2:3，po=，则p到三个面的距离分别是（ ）
a 1,2,3 b 3,6,9 c 2,4,6 d 4,8,12
答案：c，设p到三个平面的距离为，2，3，则op恰好是以，2，3为棱长的长方体的对角线的长，op，
11．把边长为2的正abc沿bc边上的中线ad折成。
的二面角b-ad-c后，点d到平面abc的距离为（ ）
ab 1 c d
答案：c，取bc中点e，连ae、de，可证明边ae上的高位所求距离，而为正。
12．与空间四边形abcd四个顶点的距离相等的平面共有（ ）个。
a 4 b 5 c 6 d 7
答案：d，过高的中点平行于底面的截面有4个，过对棱的公垂线段的中点与公垂线垂直的截面有3个，共7个。
二、填空题（每小题5分，共20分）
13. 点b是a（3,7，）在平面上的射影，则。
答案：5。.b(3,0,),
14. 在棱长为的正方体abcd中与ad成异面且距离等于的棱共有___条。
答案：4。15. 已知直线，直线，给出下列命题，②，
其中正确命题的序号是。
答案：①③16. 如图⊙o所在平面，ab是⊙o的直径，c是⊙o上的一点，e、f分别是点a在pb、pc上的射影，给出下列结论①,②其中真命题的序号是。
答案：①②三、解答题（每小题14分，共70分）
17. 在棱长为1的正方体中，1）求a点到平面的距离。
2）求二面角的大小。
解：(1)建系如图，则，,，设平面的法向量为，则。
令，则，设a到平面的距离为，则。
a到平面的距离为。
2）, 设平面、平面的法向量为，则，取。
取，设二面角的平面角为，则cos==，又，，二面角为。
18. 已知正方体的棱长为2，e,f,m分别是的中点，1）求证：平面ade平面。
2）直线与平面所成的角。
解：建系如图，则，, 设，分别是平面ade、平面的法向量，则，即，令则，同理可得。
1），平面ade//平面。
2)，平面ade,即直线与平面ade所成角为。
19. 如图：与都是边长为2的正三角形，平面mcd平面bcd，ab平面bcd，ab=，1）求点a到平面mbc的距离。
2）求平面acm与平面bcd所成二面角的正弦值。
解：取cd中点o连ob、om，则，又平面mcd平面bcd，则mo平面bcd，取o为原点，直线oc，bo，om为。
轴，轴，轴建系如图，ob=om=,则， ,1) 设是平面mbc的法向量，则由。
得，由得，取，则。
2）设平面acm的法向量为，由。
得，解得，取，又平面bcd的法向量为，
设所求二面角为，则。
20. 在棱长为1的正方体中，p是棱上的一点，cp=m，1）试确定m，使直线ap与平面所成角的正切值为。
2）**段上是否存在一个定点q，使得对任意的m，在平面上的射影垂直于ap，证明你的结论。
解：（1）建系如图，则，, 又由，
知为平面的一个法向量，设ap与平面所成的角为，则，由题意，故当m=时，直线ap与平面所成角的正切值为。
2）若在上存在这样的点q，设此点的横坐标为x，则q，，由题意对任意的要使在平面上的射影垂直于ap，，即，，，即q为的中点时，在平面上的射影垂直于ap。
21. 如图所示，已知ab平面acd，de平面acd， acd为正三角形，ad=de=2ab,f为cd中点，1）求证：af平面bce。
2）求证：平面bce平面cde。
3）求直线bf和平面bce所成的角的正弦值。
解：设ad=de=2ab=2，建系如图，则a(0,0,0),c(2,0,0),b(0,0，),d(,,0),e(,,2)，为cd的中点，
1), af平面bce，平面bce
另解，设平面bce的法向量为，，
由得，取。则， af平面bce
2),，又， ,平面cde，又af平面bce
平面bce平面cde
3），设bf与平面bce所成角为，则。
所以直线bf和平面bce所成的角的正弦值为。
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