2024年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相应位置上。
1.已知集合，则= ▲
3.在学生人数比例为的a，，三所学校中，用分层抽样方法招募名志愿者，若在学校恰好选出了6名志愿者，那么 ▲
4.设，则在区间上随机取一个数，使的概率为 ▲
5.设函数，若曲线在点处的切线方程为，则。
6.如图是一个算法的流程图，则输出的值是 ▲
7.已知向量，则 ▲
8.设双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为 ▲
9.双曲线的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点在“上”区域内，则双曲线离心率的取值范围是 ▲
10.如图，三棱柱的所有棱长均等于1，且，则该三棱柱的体积是 ▲
11．过直线上一点作圆的线，若关于直线对称，则点到圆心的距离为 ▲
12.已知数列满足，则数列的前100项的和▲ .
13.已知的三边长满足，则的取值范围为 ▲
14.在平面直角坐标系中，点是第一象限内曲线上的一个动点，点处的切线与两个坐标轴交于两点，则的面积的最小值为 ▲
二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15.（本小题满分14分）
已知函数。1）求的值；
2）求的最大值及相应的值．
16．(本小题满分14分)
在直三棱柱中， 、分别为、的中点，为棱上任一点。
ⅰ）求证：直线∥平面；
ⅱ）求证：平面⊥平面。
17．（本小题满分14分）
已知 a、b两地相距，以ab为直径作一个半圆，在半圆上取一点c，连接ac、bc，在三角形abc内种草坪（如图），m、n分别为弧ac、弧bc的中点，在三角形amc、三角形bnc上种花，其余是空地．设花坛的面积为，草坪的面积为，取．
1） 用及r表示和；
2） 求的最小值．
18．（本小题满分16分）
如图，在直角坐标系中，三点在轴上，原点和点分别是线段和的中点，已知（为常数），平面上的点满足。
1）试求点的轨迹的方程；
2）若点在曲线上，求证：点一定在某圆上；
3）过点作直线，与圆相交于两点，若点恰好是线段的中点，试求直线的方程。
19.（本小题满分16分）
已知数列的前项和为，且满足，，其中常数．
1）证明：数列为等比数列；
2）若，求数列的通项公式；
3）对于（2）中数列，若数列满足（），在与之间插入（）个2，得到一个新的数列，试问：是否存在正整数m,使得数列的前m项的和？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由。
20．（本小题满分16分）
已知常数，函数。
1）求的单调递增区间；
2）若，求在区间上的最小值；
3）是否存在常数，使对于任意时，恒成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由。
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