输油管的布置模型。
摘要。根据问题需要，建立管线建设费用最省的一般数学模型。对于问题1，针对问题的不同情形，分别建立7个数学模型。
其中，运用对称法建立模型1，找到使距离和达到最小的点e(车站)， 千米，最低费用为（万元）； 当各段管线**都相等时，建立模型6：
……模型6根据模型6，求出，并解得三者的关系为。当时，建立模型7：
…模型7对问题 2，建立了4个模型。其中，模型10为优化模型：
模型10根据模型10，由lingo9.0计算得，当车站设在点（5.459266，1.
848091）时，管线总费用最小为280.1771万元，该模型优于前面的模型。若设三个公司权数分别为，且。
如，,，则（万元），此时车站设在点（5.453304，1.851534），管线总费用为281.
6893万元。尽管该值比模型10多了1.5122万元，但可能更符合实际情况。
对问题 3，考虑到各段管线**都不等及三个公司权数不同，建立3个模型。其中，模型14
解得，当，，，时，；
当， ，时，。
此为最优结果。
关键词：管线总费用；最优；数学模型；加权。
某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。
1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。
2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示，其中厂位于郊区（图中的i区域），厂位于城区（图中的ii区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。
图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为，，，
若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。
估算结果如下表所示：
请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。
3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送厂成品油的每千米5.
6万元，输送厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。
请给出管线最佳布置方案及相应的费用。
基本假设：1）铁路线两侧的地理环境良好，不存在无法铺设的情况。
2）铺设管线的过程中不考虑自然灾害、人员**等因素的影响。
3）铺设管线的过程中不存在材料的浪费现象。
4）在城区不存在不愿意和无法搬迁的情况。
四、问题分析。
题目的要求我们给出合理的设计方案，使得管线建设费用最省。这可以通过两个炼油厂和一个车站的合理选址以及铺设适当的管线达到该目的。
问题1需要针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出不同的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，还需要考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。这就需要我们合理分类，针对每一类进行相应的讨论，建立相应的数学模型。
为了全面分析问题，找到最优方案，我们可以分两种情况进行讨论。第一，没有共用管线的情况。我们只需考虑两炼油厂到铁路线的距离和两炼油厂间的距离，利用对称性找出车站的建点，从而算出最低费用。
第二，有共用管线的情况。我们不仅需要考虑两炼油厂到铁路线的距离和两炼油厂间的距离，还需要考虑铺设各段管线的费用之间的关系，从而根据实际问题分别建立不同的模型，计算其最低费用。除此之外，我们还可以求出、和三者之间的关系式。
对于问题2，首先我们考虑总管线最短的情况，而总管线最短有可能增加附加费用，进而增加总费用。其次，需要考虑车站建在铁路线两个特殊点c、d的情况。第三，还要考虑附加费用最低问题。
为使附加费用最低，设计方案时，我们应该使城区管线的长度达到最短。综合前面几种情况进一步建立优化模型，使总成本得到降低。对于三个公司的估算情况，我们根据他们的级别进行加权处理，进行综合考虑，有可能更接近实际情况，从而我们建立更加优化的模型，从而给出优化的设计方案。
对于问题3，思路与问题2基本一致。在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。针对三段管线不同的**我们将建立相应的数学模型，给出管线最佳布置方案及相应的费用。
5.1 对问题 1建立模型及求解。
问题１要求“某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂”，因此，我们可以不考虑在异侧和铁路线上建造炼油厂的情况，只需考虑铁路线的同一侧两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，若有共用管线，还要考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。根据问题的合理性和可行性，我们从有或没有共用管线的角度，分两种情况进行讨论。
5.1.1没有共用管线的情况。
在没有共用管线的情况下，考虑两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形：
在没有共用管线的情况下，为了使总管线的费用和最低，只要线路最短即可。问题转化为：
在炼油厂与炼油厂之间且在铁路线上找一位置，使该位置分别到炼油厂与炼油厂的距离之和最小，并在该位置上建立建一个车站，用来运送成品油，运用对称的方法找到使距离和达到最小的点，如图1所示。
图1假设炼油厂与车站和炼油厂与车站的距离之和为千米，铺设管线的**都为万元／千米，总费用为万元，炼油厂与铁路线的距离为千米，炼油厂与铁路线的距离为千米，炼油厂与炼油厂的水平距离为千米，车站与距离为千米。
根据对称性，我们过点作一条垂直于铁路线的直线，交铁路线于点，使得等于，连接交铁路线点，在点建车站，那么有，延长使等于，连接。就是我们要求的最短距离。根据勾股定理得，因此，我们建立如下模型：
…… 模型。
因为，所以，即，解得，千米。此时，车站建在点，车站与点的距离为千米，最低费用为万元。
5.1.2有共用管线的情况。
1）当时，即当炼油厂与位于垂直于铁路线的同一条直线上。
不妨假设。此时，车站建在点（点与点重合）处即可。如图2所示。
图2下面考虑铺设管线问题。假设不铺设共用管线问题，则总管线长为。
那么，有。模型2
则万元，显然，这种方案中，段重复铺设管线千米，可能造成成本增加，导致浪费。
因此，我们需要考虑共用管线。假设共用管线的**为（万元／千米），非共用管线的**都为（万元／千米）。此时，我们需要考虑是否在ac段铺设共用管线，若在段铺设共用管线，那么这时总管线长为，结合实际问题我们还必须考虑其**。
则则总费用为：
………模型3
图3现在对两个模型进行比较，即比较与大小：
若，则那么，即重复了段，故只需段铺设单用管线，段铺设共用管线即可。模型3优于模型2。
若，则有三种情况：
当时，有，即若共用管线**是单用管线**的2倍，则模型2与模型3均可。
当时有，模型3优于模型2。
当时有，模型2优于模型3。
(2)当时。
为了便于分析问题，下面我们来建立直角坐标系，以铁路线为轴，以a炼油厂与铁路线的垂线为轴，如下图：
图4设共用管线起点为，则为车站点，那么管线长为代入数值，解得：
设段管线**分别为。
则即：……模型4
特别地，若，则表示不用铺设共用管线；
若，，远远大于时，如图5所示：
图5过点作，为了使总费用最低，我们应该尽量使非共用管线尽量短，根据两点间线段最短，那么车站应建在点，根据勾股定理有，总管线长为，则，即。
模型5根据三段管线**相同或不同的情况，讨论如下：
当时，则总费用只与管线的长度有关：那么有：
当各段管线**都相等时，……模型6
为了求最小值，我们首先分别对和求偏导，进而令，从而求出驻点，根据实际问题，铺设管线总会存在费用最低的情况，因此，通过此点我们可以求出铺设管线的最低费用。求偏导的公式如下：
求驻点的程序及其结果如下：
即有两个驻点，它们能同时达到最小值。
但是，当，时，因为，所以，但是，，因此当，时与约束条件不符，应该舍去。如图6所示。
图6那么只有一个符合要求的驻点：。
又∵，，解得，，三者的关系为，这表明在考虑有共用管线的情况下，要使达到最小值，只需公共管线的起点为。此时，为了使，成立，必须满足以下关系：
当时， ……模型7
同样为了求最小值，我们也需要分别对和求偏导，求偏导的公式如下：
令 ，所有的情况必须满足与同号，当，时，解得：当，时，解得：
当，时，解得：
当，时，解得：
根据实际问题分析，这四个值分别是四种不同情况的最优解，而且每种情况的最小值都相等。
5.2 对问题 2建立模型及求解。
5.2.1只考虑总管线最短的情况。
由问题2可以知道，所有的管线铺设费用都相等，在考虑使管线的费用降到最低的情况下，只需让铺设的管线最短就可达到要求，我们建立如下模型：
模型8如图7所示：
图7这是一般情况下的模型，如果代入具体数值，将得到相应的结果。
对于值的确定，考虑到公司一具有甲级资质，可信度较高，因此，我们可以采用公司一的估算结果，即（万元/千米）。由题意可得其中，（万元/千米），当时，程序如下。
min=7.2*(x^2+(5-y)^2)^.5+7.
2*((x-20)^2+(y-8)^2)^.5+7.2*y+21*((x-20)^2+(y-8)^2)^.
5*5/(20-x);
bnd(0,x,20);
2019高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题评阅要点
说明 本要点仅供参考，各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。本题要求根据 中物体的太阳影子，建立数学模型确定 拍摄地点和日期。主要考察学生关于空间几何问题的建模能力以及非线性优化问题的求解能力，对求解精度具有一定的要求。评阅时应注意 北京时间 与 北京当地时间 的不同，经度与时...
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2019高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题评阅要点
说明 本要点仅供参考，各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。因为本题涉及到一些重要概念，所以请各赛区评阅专家在阅卷前务必用比较多的时间来研读本评阅要点。千万不要简单地以数值结果来评分。评阅时请注意具体情况具体对待，特别要注意在处理误差分析时有没有闪光点。这是一个物理模拟问题，模...