一、 单项选择题：每题4分，满分32分。
1. 曲线的渐近线的条数为【 】
a. 0; b. 1; c. 2; d. 3.
2. 设函数，其中为正整数，则【 】
a．； b. ;c. ;d..
3. 设函数连续，则二次积分【 】
a．；b．；
c．；d．．
．已知级数绝对收敛，条件收敛，则的范围【 】
a．；b．；c．；d．．
5. 设，，，其中为任意常数，则下列向量组线性相关的是【 】
a.; b.; c.; d..
6. 设为三阶矩阵，为三阶可逆矩阵，且。 若， 则【 】
a.; b.; c.; d..
7. 设随机变量独立，且都服从区间上的均匀分布，【
a.; b. ;c. ;d..
8. 设是来自于总体的简单随机样本，则统计量的分布为【 】
a．； b. ;c. ;d. .
二、填空题：每题4分，满分24分。
10. 设函数，，则。
11. 函数满足，则 .
12. 由曲线，直线，在第一象限中所围图形的面积为 .
13. 设是三阶矩阵， ,为的伴随矩阵，交换的第一行与第二行得矩阵，则 .
14. 设是随机事件，互不相容， ,则 .
三、解答题：共94分。
15. （本题满分10分）求极限。
16. （本题满分10分）计算二重积分，其中由曲线与围成。
17. （本题满分10分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入固定成本10000万元。设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为件和件，且定两种产品的边际成本分别为（万元/件）和（万元/件），1）求生产两种产品的总成本函数（万元）；
2）当总产量为50件时，两种产品的产量各为多少时，总成本最小？求最小成本。
3）求总产量为50件且总成本最小时，甲产品的边际成本，并解释其经济意义。
18. （本题满分10分）证明：，．
19. (本题满分10分) 若函数满足方程及，（1）求的表达式；（2）求曲线的拐点。
20. (本题满分11分)设， ,1) 计算行列式；
2)当为何值时，方程组有无穷多组解，并求其通解。
21. (本题满分11分)已知，二次型的秩为2,1)求实数的值； (2)求正交变换将化为标准形。
22. (本题满分11分)设二维离散型随机变量的概率分布为。
1) 求； (2) 求。
23. (本题满分11分)设随机变量相互独立，且服从参数为1的指数分布，记，，
1) 求的概率密度； (2) 求。
2012年全国硕士研究生入学考试数学三试题参考解答。
二、 单项选择题：每题4分，满分32分。
1. 曲线的渐近线的条数为【 】
a. 0; b. 1; c. 2; d. 3.
解】,说明曲线有铅垂渐近线，说明曲线有水平渐近线，曲线不存在斜渐近线，故选择答案c.
2. 设函数，其中为正整数，则【 】
a．； b. ;c. ;d..
解】用等价无穷小代换及导数的定义。
选择答案a.
注意：网络答案有大的计算错误！）
3. 设函数连续，则二次积分【 】
a．；b．；
c．；d．．
解】极坐标方程，分别表示圆，不等式组，所界定的积分区域是第一个圆外、第二个圆内且位于第一象限内的部分，用直角坐标表示为，，故正确答案为b。
．已知级数绝对收敛，条件收敛，则的范围【 】
a．；b．；c．；d．．
解】因当时，，要使绝对收敛，即收敛，须，即；欲条件收敛，只要即可，即，故。正确选项为d。
5. 设，，，其中为任意常数，则下列向量组线性相关的是【 】
a.; b.; c.; d..
解】由于，，，故选c.
6. 设为三阶矩阵，为三阶可逆矩阵，且。 若， 则【 】
a.; b.; c.; d..
解】由，所以。
故选b.7. 设随机变量独立，且都服从区间上的均匀分布，【
a.; b. ;c. ;d..
解】的联合密度是，故选d。
8. 设是来自于总体的简单随机样本，则统计量的分布为【 】
a．； b. ;c. ;d. .
解】，所以。正确选项是b。
二、填空题：每题4分，满分24分。
解】这是“”型的极限。
10. 设函数，，则。
解】，但，所以。
11. 函数满足，则 .
解】由条件，知当时，有。
即，且。即，故，12. 由曲线，直线，在第一象限中所围图形的面积为 .
解】曲线与直线和的交点分别为、，所求面积为。
13. 设是三阶矩阵， ,为的伴随矩阵，交换的第一行与第二行得矩阵，则 .
解】是三阶矩阵， ,由知， ，由行列式的性质，，所以。
14. 设是随机事件，互不相容， ,则 .
解】。三、解答题：共94分。
15. （本题满分10分）求极限。
解】16. （本题满分10分）计算二重积分，其中由曲线与围成。
注意：原题给出的两条曲线是不能围成一个封闭区域的！因为。
猜测积分区域是阴影部分！另外，网络提供的答案有严重错误！
解】两曲线的交点坐标为，17. （本题满分10分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入固定成本10000万元。设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为件和件，且定两种产品的边际成本分别为（万元/件）和（万元/件），1）求生产两种产品的总成本函数（万元）；
2）当总产量为50件时，两种产品的产量各为多少时，总成本最小？求最小成本。
3）求总产量为50件且总成本最小时，甲产品的边际成本，并解释其经济意义。
解】略去。18. （本题满分10分）证明：，．
解】令，；当时，，，从而，故，函数单调减小；
当时，，，从而，故，函数单调增加；
综上所述，当，是函数的极小值，即，此即所证。
19. (本题满分10分) 若函数满足方程及，（1）求的表达式；（2）求曲线的拐点。
解】（1）方程特征根为，通解，代入，得，比较系数，得，所以。
2）， 当时，，当时，而方程有唯一的解，所以曲线的拐点坐标为。
20. (本题满分11分)设， ,1) 计算行列式；
2)当为何值时，方程组有无穷多组解，并求其通解。
解】（1）；
2）作初等行变换 ~
要使方程组有无穷多组解，须，所以。
此时，故方程组的通解为。
21. (本题满分11分)已知，二次型的秩为2,1)求实数的值； (2)求正交变换将化为标准形。
解】（1）二次型的秩为2,则。
2）， 由特征方程。
解得的特征根为，由方程组解得所对应的特征向量为；所对应的特征向量为；所对应的特征向量为。
由于属于三个不同特征值，故正交。
单位化，，
取正交变换，则，二次型化为标准形。
22. (本题满分11分)设二维离散型随机变量的概率分布为。
1) 求； (2) 求。
解】（1）。
2）的分布律为，的分布律为，的分布律为，，，所以
23. (本题满分11分)设随机变量相互独立，且服从参数为1的指数分布，记，，
1) 求的概率密度； (2) 求。
解】（1）独立同参数为1的指数分布，共同的分布函数为，故的分布函数。
的密度函数是，即。
2）的分布函数。
的密度函数为，又，，所以。
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