2024年普通高等学校招生全国（1）统一考试。
第ⅰ卷。一、选择题。
1．函数的定义域为（ ）
ab． cd．
2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（ ）
3．在中，，．若点满足，则（ ）
abcd．
4．设，且为正实数，则（ ）
a．2 b．1 c．0 d．
5．已知等差数列满足，，则它的前10项的和（ ）
a．138 b．135 c．95 d．23
6．若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（ ）
a． b． c． d．
7．设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）
a．2 b． c． d．
8．为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
a．向左平移个长度单位b．向右平移个长度单位。
c．向左平移个长度单位d．向右平移个长度单位。
9．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）
ab． c． d．
10．若直线通过点，则（ ）
a． b． c． d．
11．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（ ）
a． bc． d．
12．如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）
a．96 b．84 c．60 d．48
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
注意：在试题卷上作答无效）
13．若满足约束条件则的最大值为。
14．已知抛物线的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为。
15．在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率。
16．等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，分别是的中点，则所成角的余弦值等于。
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
注意：在试题卷上作答无效）
设的内角所对的边长分别为，且．
ⅰ）求的值；
ⅱ）求的最大值．
18．（本小题满分12分）
四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，
ⅰ）证明：（ⅱ设与平面所成的角为，求二面角的大小。
19．（本小题满分12分）
已知函数，．
ⅰ）讨论函数的单调区间；
ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．
20．（本小题满分12分）
注意：在试题卷上作答无效）
已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．
ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；
ⅱ）表示依方案乙所需化验次数，求的期望．
21．（本小题满分12分）
注意：在试题卷上作答无效）
双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与同向．
ⅰ）求双曲线的离心率；
ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
22．（本小题满分12分）
注意：在试题卷上作答无效）
设函数．数列满足，．
ⅰ）证明：函数在区间是增函数；
ⅱ）证明：；
ⅲ）设，整数．证明：．
2024年普通高等学校招生全国统一考试理科数学。
必修+选修ⅱ）参***。
1. c. 由。
2. a． 根据汽车加速行驶，匀速行驶，减速行驶结合函数图像可知；
3. a. 由，，；
4. d5. c. 由；
6. b. 由；
由；只需将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像。
由奇函数可知，而，则，当时，；当时，，又在上为增函数，则奇函数在上为增函数，.
由题意知直线与圆有交点，则。
另解：设向量，由题意知。
由可得。由题意知三棱锥为正四面体，设棱长为，则，棱柱的高（即点到底面的距离），故与底面所成角的正弦值为。
另解：设为空间向量的一组基底，的两两间的夹角为。
长度均为，平面的法向量为，则与底面所成角的正弦值为。
分三类：种两种花有种种法；种三种花有种种法；种四种花有种种法。共有。
另解：按顺序种花，可分同色与不同色有。
13.答案：9．如图，作出可行域，作出直线，将平移至过点处。
时，函数有最大值9.
14. 答案：2.由抛物线的焦点坐标为。
为坐标原点得，，则。
与坐标轴的交点为，则以这三点围成的三角形的面积为。
15.答案：.设，则。
16.答案：.设，作。
则，为二面角的平面角。
结合等边三角形。
与正方形可知此四棱锥为正四棱锥，则。
故所成角的余弦值。
另解：以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则点，则，故所成角的余弦值。
17.解析：（ⅰ在中，由正弦定理及。
可得。即，则；
ⅱ）由得。当且仅当时，等号成立，故当时，的最大值为。
18．解：（1）取中点，连接交于点， ，又面面， 面，，即，面，．
2）在面内过点作的垂线，垂足为．，面，则即为所求二面角的平面角．，则，即二面角的大小．
19. 解：（1）求导：
当时，，，在上递增。
当，求得两根为。
即在递增，递减，递增。
2），且解得：
20．解：（ⅰ对于甲：
对于乙：ⅱ）表示依方案乙所需化验次数，的期望为．
21. 解：（ⅰ设，，
由勾股定理可得：
得：，，由倍角公式，解得，则离心率．
ⅱ）过直线方程为，与双曲线方程联立。
将，代入，化简有。
将数值代入，有，解得。
故所求的双曲线方程为。
22. 解析：（ⅰ证明：，
故函数在区间(0,1)上是增函数；
ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，，即成立；
ⅱ）假设当时，成立，即。
那么当时，由在区间是增函数，得。
而，则，也就是说当时，也成立；
根据（ⅰ）可得对任意的正整数，恒成立。
（ⅲ）证明：由．可得。
1， 若存在某满足，则由⑵知：
2， 若对任意都有，则。
即成立。
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