2024年闸北区二模。
一、填空题（60分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每。
个空格填对得6分，否则一律得零分．
1、设函数，且，则的值是___
2、已知集合，，若，则实数的取值范围是___
3、如果复数满足且，其中，则的最大值是___
4、（理 ）在直角坐标系中，已知三点，若向量，在向量方向上的投影相同，则的值是___
文）已知、满足，若使得取最大值的点有无数个，则的值等于___
5、（理）某科技创新大赛设有。
一、二、三等奖(参与活动的都有奖)且相应奖项获奖的概率是以为首项，为公比的等比数列，相应的奖金分别是以元、元、元，则参加此次大赛获得奖金的期望是___元。
文）在直角坐标系中，已知三点，若向量，在向量方向上的投影相同，则的值是___
6、已知、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，若的面积为，则。
7、中，分别是的对边且，若最大边长是且，则最小边的边长为___
8、（理）在极坐标系中，曲线与的公共点到极点的距离为___
文）设等差数列的公差为，若的方差为，则=__
9、（理）如右图，、是直线上的两点，且，两个半径相等的动圆分别与相切于、两点，是这两个圆的公共点，则圆弧，圆弧与线段围成图形面积的取值范围是___
文）已知函数，则关于的方程的实根的个数是___个
10、（理）设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是___
文）设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是。
二、选择题（15分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确。
的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分。
11、（理）已知与均为单位向量，其夹角为，则命题是命题的。
充分非必要条件必要非充分条件。
充分且必要条件非充分且非必要条件。
文）若一个长方体共顶点的三个面的对角线长分别是，则长方体的对角线长是( )
12、（理）已知是球表面上的点，平面，，,则球的表面积等于（ ）
文）已知与均为单位向量，其夹角为，则命题是命题的( )
充分非必要条件必要非充分条件。
充分且必要条件非充分且非必要条件。
13、已知数列的前项和为，对任意正整数，，则下列关于的论断中正确的是（ ）
一定是等差数列一定是等比数列
可能是等差数列，但不会是等比数列 ．可能是等比数列，但不会是等差数列。
三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对。
应的题号）内写出必要的步骤．
14、（理）（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）
在长方体中，，，点在棱上移动；
1）探求多长时，直线与平面成角；
2）点移动为棱中点时，求点到平面的距离；
14、（文）（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）
如图几何体是由一个棱长为2的正方体与一个侧棱长为2的正四棱锥组合而成；
1）求该几何体的主视图的面积；
2）若点是棱的中点，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数表示）；
15、（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）
某公司生产的某批产品的销售量万件（生产量与销售量相等）与**费用万元满足(其中，为正常数)．已知生产该批产品还需投入成本万元(不含**费用)，产品的销售**定为元／件；
1）将该产品的利润万元表示为**费用万元的函数；
2）当**费用投入多少万元时，该公司的利润最大？
16、（本题满分15分，第（1）小题7分，第（2）小题8分）
已知函数的周期为，图象的一个对称中心为。将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，再将所得到的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象；
1）求函数与的解析式；
2）（理）求证：存在，使得，，能按照某种顺序成等差数列；
文）定义：当函数取得最值时，函数图像上对应的点称为函数的最值点，如果函数的图像上至少有一个最大值点和一个最小值点在圆的内部或圆周上，求的取值范围；
17、（本题满分16分，第（1）小题8分，第（2）小题8分）
若动点到定点与定直线的距离之和为；
1）求点的轨迹方程，并在答题卡所示位置画出方程的曲线草图；
2）（理）记（1）得到的轨迹为曲线，问曲线上关于点对称的不同点有几对？请说明理由；
文）记（1）得到的轨迹为曲线，若曲线上恰有三对不同的点关于点对称，求的取值范围；
18、（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（2）小题8分）
已知数列，为其前项的和，满足；
1）求数列的通项公式；
2）设数列的前项和为，数列的前项和为，求证：当时；
3）（理）已知当，且时有，其中，求满足的所有的值；
文）若函数的定义域为，并且，求证；
高三数学（理文合卷）期中练习卷参***。
一、 填空题。
1、 2、 3、 4、（理）；（文） 5、（理）；（文）2
6、 7、 8、（理）；（文） 9、（理）；（文）5
10、（理）或；（文）
二、 1112、（理）；（文） 13、
三、14、（理）（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）
解：（1）法一：长方体中，因为点在棱上移动，所以平面，从而为直线与平面所成的平面角，中， .
法二：以为坐标原点，射线依次为轴轴，建立空间直角坐标系，则点，平面的法向量为，设，得，由，得，故
2）以为坐标原点，射线依次为轴，建立空间直角坐标系，则点，从而，，
设平面的法向量为，由。
令，所以点到平面的距离为。
14、（文）（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）
解：（1）画出其主视图（如下图），
可知其面积为三角形与正方形面积之和。
在正四棱锥中，棱锥的高，2）取中点，联结，
则为异面直线与所成角。 在中，又在正四棱锥中，斜高为，由余弦定理可得
所以，异面直线与所成的角为。
15、（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）
解：（1）由题意知，
将代入化简得： （
2），上式当且仅当，即时，取等号。
当时， **费用投入万元时，厂家的利润最大；
当时，易证在上单调递增， 所以时，函数有最大值。
综上：当时， **费用投入2万元，厂家的利润最大；
当时**费用投入万元，厂家的利润最大。
16、（本题满分15分，第（1）小题7分，第（2）小题8分）
解：(1)、由函数的周期为，，得，又曲线的一个对称中心为，故，得，所以。
将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)后可得的图象，再将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，所以。
2)、（理）当时，所以
问题转化为方程在内是否有解．
设， ，且函数的图象连续不断，故可知函数在内存在零点。
文）函数当时取得最大值或最小值，当，即与原点距离最近的的最大值和最小值点分别是点和，于是有，所以的取值范围是。
17、（本题满分16分，第（1）小题8分，第（2）小题8分）
解：、设，由题意
1 ：当时，有，化简。
得： 2 ：当时，有，化简。
得：（二次函数）
综上所述：点的轨迹方程为。
如图）、（理）当或显然不存在符合题意的对称点。
当时，注意到曲线关于轴对称，至少存在一对（关于轴对称的）对称点。
下面研究曲线上关于对称但不关于轴对称的对称点
设是轨迹上任意一点，则，它关于的对称点为，由于点在轨迹上，所以，联立方程组（*）得。
化简得。1 当时，，此时方程组(*)有两解，即增加有两组对称点。
2 当时，，此时方程组(*)只有一组解，即增加一组对称点。（注：对称点为，）
3 当时，，此时方程组(*)有两解为，没有增加新的对称点。
综上所述：
（文）若，则，所以曲线关于轴对称，所以一对存在关于轴对称的对称点。
下面研究曲线上关于对称但不关于轴对称的对称点。
设是轨迹上任意一点，则，它关于的对称点为，由于点在轨迹上，所以，联立方程组（*）得，化简得。
当时，，此时方程组(*)有两解，即增加有两组对称点。
所以的取值范围是。
18、（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（2）小题8分）
解：（1）当时，
又，所以 (2)、《法一》，法二》：数学归纳法。
①时，， ②假设时有当时，
是原式成立。
由①②可知当时；
3)、（理），
相加得，时，无解。
又当时；，时，；时，
时，为偶数，而为奇数，不符合。
时，为奇数，而为偶数，不符合。
综上所述或者
3)、易知，否则若，则，与矛盾。
因为函数的定义域为，所以恒不为零，而的值域为，所以，又时，，与矛盾，故。
且， 即有。
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