一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）是虚数单位，若，则乘积的值是
a． b． c．3 d．15
2．（5分）若集合，，则是
a．或 b．
c． d．3．（5分）下列曲线中离心率为的是
a． b． c． d．
4．（5分）下列选项中，是的必要不充分条件的是
a．，且 b．，，的图象不过第二象限
c．， d．，在上为增函数。
5．（5分）已知为等差数列，，，以表示的前项和，则使得达到最大值的是
a．21 b．20 c．19 d．18
6．（5分）设，函数的图象可能是
a． b．
c． d．7．（5分）若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是
a． b． c． d．
8．（5分）已知函数，的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是
a．，，b．，，
c．，，d．，9．（5分）已知函数在上满足，则曲线在点，（1）处的切线方程是
a． b． c． d．
10．（5分）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点种任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于
a． b． c． d．
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）若随机变量，则 ．
12．以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为，它与曲线为参数）相交于两点和，则 ．
13．（5分）程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是 ．
14．（5分）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为．如图所示，点在以为圆心，以1半径的圆弧上变动．若，其中，，则的最大值是 ．
15．（5分）对于四面体，下列命题正确的序号是 ．
相对棱与所在的直线异面；
由顶点作四面体的高，其垂足是的三条高线的交点；
若分别作和的边上的高，则这两条高所在直线异面；
分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；
最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．
三、解答题（共6小题，满分75分）
16．（12分）在中，，．
ⅰ）求的值；
ⅱ）设，求的面积．
17．（12分）某地有、、、四人先后感染了甲型流感，其中只有到过疫区．肯定是受感染的．对于，因为难以断定他是受还是受感染的，于是假定他受和受感染的概率都是．同样也假定受、和感染的概率都是．在这种假定之下，、、中直接受感染的人数就是一个随机变量．写出的分布列（不要求写出计算过程），并求的均值（即数学期望）．
18．（13分）如图所示，四棱锥的底面是菱形，其对角线，．、都与平面垂直，，．
1）求二面角的大小；
2）求四棱锥与四棱锥公共部分的体积．
19．（12分）已知函数，，讨论的单调性．
20．（13分）点，在椭圆上，，，直线与直线垂直，为坐标原点，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为。
ⅰ）证明：点是椭圆与直线的唯一交点；
ⅱ）证明：，，构成等比数列．
21．（13分）首项为正数的数列满足，．
1）证明：若为奇数，则对一切，都是奇数；
2）若对一切都有，求的取值范围．
2024年安徽省高考数学试卷（理科）
参***与试题解析。
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）是虚数单位，若，则乘积的值是
a． b． c．3 d．15
解答】解：，．
故选：．2．（5分）若集合，，则是
a．或 b．
c． d．解答】解：，即，又，即或，或，故选：．
3．（5分）下列曲线中离心率为的是
a． b． c． d．
解答】解：选项中，，，排除．
选项中，，则符合题意。
选项中，，则不符合题意。
选项中，则，不符合题意。
故选：．4．（5分）下列选项中，是的必要不充分条件的是
a．，且 b．，，的图象不过第二象限
c．， d．，在上为增函数。
解答】解：、且，，，但推不出，是的必要不充分条件，故正确；，的图象不过第二象限，但若，时的图象也不过第二象限，推不出，是的充分不必要条件，故错误；，但当时，，也成立，推不出，是的充分不必要条件，故错误；，在上为增函数，是的充要条件，故错误；
故选：．5．（5分）已知为等差数列，，，以表示的前项和，则使得达到最大值的是
a．21 b．20 c．19 d．18
解答】解：设的公差为，由题意得。
即，①即，②
由①②联立得，故当时，达到最大值400．
故选：．6．（5分）设，函数的图象可能是
a． b．
c． d．解答】解：
当时，故可排除、；
又当时，故可排除；
故选：．7．（5分）若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是
a． b． c． d．
解答】解：满足约束条件：，平面区域如图示：
由图可知，直线恒经过点，当直线再经过的中点，时，平面区域被直线分为面积相等的两部分，当，时，代入直线的方程得：
故选：．8．（5分）已知函数，的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是
a．，，b．，，
c．，，d．，解答】解：，．
的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，恰好是的一个周期，．．
故其单调增区间应满足，．，故选：．
9．（5分）已知函数在上满足，则曲线在点，（1）处的切线方程是
a． b． c． d．解答】解：
切线方程为：即。
故选：．10．（5分）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点种任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于
a． b． c． d．
解答】解：甲从这6个点中任意选两个点连成直线，共有条，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，共有条，甲乙从中任选一条共有种不同取法，因正方体6个面的中心构成一个正八面体，有六对相互平行但不重合的直线，则甲乙两人所得直线相互平行但不重合共有12对，这是一个古典概型，所以所求概率为，故选：．
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）若随机变量，则 ．
解答】解：服从正态分布，根据正态密度曲线的对称性可得。
曲线关于对称，选填：．
12．以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为，它与曲线为参数）相交于两点和，则 ．
解答】解：直线的极坐标方程为，化为直角坐标方程为．
曲线为参数）的普通方程为，表示以为圆心，半径等于2的圆．
求得弦心距，故弦长为，故答案为．
13．（5分）程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是 127 ．
解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：
是否继续循环。
循环前 第一圈 3 是。
第二圈 7 是。
第三圈 15 是。
第四圈 31 是。
第五圈 63 是。
第六圈 127 否。
故最后输出的值为：127
故答案为：127
14．（5分）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为．如图所示，点在以为圆心，以1半径的圆弧上变动．若，其中，，则的最大值是 2 ．
解答】解：【方法一】建立如图所示的坐标系，则，即，．
设，则．，则，解得，．
有最大值2，当时取最大值2．
解法二】，解得．
故答案为：2．
15．（5分）对于四面体，下列命题正确的序号是 ①④
相对棱与所在的直线异面；
由顶点作四面体的高，其垂足是的三条高线的交点；
若分别作和的边上的高，则这两条高所在直线异面；
分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；
最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．
解答】解：①根据三棱锥的结构特征知正确．
因为只有对棱相互垂直才行，所以不一定，不正确．
若分别作和的边上的高，若是正四面体时，则两直线相交，不正确．
因为相对棱中点两两连接构成平行四边形，而对棱的中点的连接正是平行四边形的对角线，所以三条线段相交于一点，故正确．
设图中是最长边．
若且。则，矛盾。
则命题成立．
故答案为：①④
三、解答题（共6小题，满分75分）
16．（12分）在中，，．
ⅰ）求的值；
ⅱ）设，求的面积．
解答】解：（ⅰ因为，所以，且，又，ⅱ）如图，由正弦定理得。
又。17．（12分）某地有、、、四人先后感染了甲型流感，其中只有到过疫区．肯定是受感染的．对于，因为难以断定他是受还是受感染的，于是假定他受和受感染的概率都是．同样也假定受、和感染的概率都是．在这种假定之下，、、中直接受感染的人数就是一个随机变量．写出的分布列（不要求写出计算过程），并求的均值（即数学期望）．
解答】解：由题意知的可能取值为1，2，3，随机变量的分布列是。
的均值为．18．（13分）如图所示，四棱锥的底面是菱形，其对角线，．、都与平面垂直，，．
1）求二面角的大小；
2）求四棱锥与四棱锥公共部分的体积．
解答】解：（1）解：连接、交于菱形的中心，过作，为垂足，连接、．
由，得平面，故．
于是平面，所以，，为二面角的平面角．
由，，得，．
由，，得．2）解：连接、、，设直线与直线相交于点，则四棱锥与四棱锥的公共部分为四棱锥．
过作平面，为垂足．
因为平面，平面，所以平面平面，从而，．
由，得．又因为，故四棱锥的体积．
19．（12分）已知函数，，讨论的单调性．
解答】解：的定义域是，．
设，二次方程的判别式△．
当△，即时，对一切都有，此时在上是增函数．
当△，即时，仅对有，对其余的都有，此时在上也是增函数．
当△，即时，方程有两个不同的实根，，．
此时在上单调递增，在是上单调递减，在上单调递增．
20．（13分）点，在椭圆上，，，直线与直线垂直，为坐标原点，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为。
ⅰ）证明：点是椭圆与直线的唯一交点；
ⅱ）证明：，，构成等比数列．
解答】解：（ⅰ由，得，代入椭圆，得，将，代入上式，得，从而，有唯一解，即直线与椭圆有唯一交点．
2024年安徽省高考数学试卷 理科
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