一、单项选择题(每题3分，共18分)
1、如果，，则(d ).
a b c d
2、如果，，则15（ a ）.
a 整除 b 不整除 c 等于 d不一定。
3、在整数中正素数的个数（ c ）.
a 有1个 b 有限多 c 无限多 d 不一定。
4、如果，是任意整数，则a
a b c d
5、如果( a ),则不定方程有解。
a b c d
6、整数5874192能被( b )整除。
a 3 b 3与9 c 9 d 3或9
二、填空题(每题3分，共18分)
1、素数写成两个平方数和的方法是（ 唯一的 ）.
2、同余式有解的充分必要条件是( （a，m）整除b ).
3、如果是两个正整数，则不大于而为的倍数的正整数的个数为( [a/b]).
4、如果是素数，是任意一个整数，则被整除或者( (a,p)=1 ).
5、的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).
6、如果是两个正整数，则存在( 唯一 )整数，使，.
三、计算题(每题8分，共32分)
1、求[136,221,391]=?
2、求解不定方程。
3、解同余式。
4、求，其中563是素数。 （8分）
四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)
1、证明对于任意整数，数是整数。
2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除。
3、证明形如的整数不能写成两个平方数的和。
试卷1答案。
一、单项选择题(每题3分，共18分)
1、d. 2、a 3、c 4、a 5、a 6、b
二、填空题(每题3分，共18分)
1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.
2、同余式有解的充分必要条件是().
3、如果是两个正整数，则不大于而为的倍数的正整数的个数为( )
4、如果是素数，是任意一个整数，则被整除或者( 与互素 ).
5、的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).
6、如果是两个正整数，则存在( 唯一 )整数，使，.
三、计算题(每题8分，共32分)
1、 求[136,221,391]=?8分）
解 [136,221,391]
[1768,3914分)
406644分）
2、求解不定方程。（8分）
解：因为（9，21）=3，，所以有解2分）
化简得1分）
考虑，有2分）
所以原方程的特解为1分）
因此，所求的解是2分）
3、解同余式。 （8分）
解因为(12,45)=315,所以同余式有解，而且解的个数为31分）
又同余式等价于，即1分）
我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,32分）
即定理4.1中的1分）
因此同余式的3个解为。
1分）1分）
1分）4、求，其中563是素数。 （8分）
解把看成jacobi符号，我们有。
3分2分）2分）
即429是563的平方剩余1分）
四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)
1、证明对于任意整数，数是整数。 (10分)
证明因为3分）
而且两个连续整数的乘积是2的倍数，3个连续整数的乘积是3的倍数， -2分）
并且(2,3)=11分）
所以从和有，--3分）
即是整数1分）
2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除。 （11分）
证明因为3分）
所以只需证明。
而我们知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2构成，所以这只需将n=0,±1,±2代入分别得值1，7，1，19，7.
对于模5, 的值1，7，1，19，7只与1，2，4等同余，
所以7分）所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除1分）
3、证明形如的整数不能写成两个平方数的和。 （11分。
证明设是正数，并且3分）
如果。1分）
则因为对于模4,只与0,1,2,-1等同余。
所以只能与0,1同余。
所以。4分）
而这与的假设不符2分）
即定理的结论成立1分）
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